数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 証明のしかたが分かりません。 / Page: 0]

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■30828 / inTopicNo.1)

　証明のしかたが分かりません。

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□投稿者/ れく一般人(14回)-(2008/01/18(Fri) 17:16:03)

f(x) が一次関数のとき、次の不等式を証明せよ。
{∫[0→1]f(x)dx}^2 ＜ ∫[0→1]{f(x)}^2dx

証明のときどのような文章で書いていいか分かりません。
分かる方お願いします。

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■30829 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 証明のしかたが分かりません。

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□投稿者/ X 付き人(56回)-(2008/01/18(Fri) 17:23:29)

f(x)=ax+b
(a,bは定数)
と置いて
(左辺)-(右辺)
を具体的に計算してa,bについて平方完成し
(左辺)-(右辺)<0
を示します。

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■30834 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 証明のしかたが分かりません。

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□投稿者/ れく一般人(15回)-(2008/01/18(Fri) 20:34:31)

すみません。
「平方完成」がよく分からないのですけど、教えてくださいませんか？
索引で調べても分かりませんでした。

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■30837 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 証明のしかたが分かりません。

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□投稿者/ X 付き人(57回)-(2008/01/18(Fri) 22:06:23)

2008/01/18(Fri) 22:11:06 編集(投稿者)

ネットで検索すれば出てきますよ。
例えば
http://math-study.seesaa.net/article/23649228.html
を見てみてはどうでしょうか？。

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■30840 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 証明のしかたが分かりません。

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□投稿者/ ＤＡＮＤＹ　Ｕ付き人(93回)-(2008/01/18(Fri) 22:49:35)

ところでこの場合、平方完成する必要はないのでは？

ｆ(x)＝ａx＋ｂ　とおくと
∫[0→1]{f(x)}^2dx＝∫[0→1](ａx＋ｂ)^2dx＝∫[0→1](ａ^2・x^2＋2aｂx＋ｂ^2)dx
＝[(1/3)a^2・x^3＋aｂx^2＋ｂ^2・ｘ] (0～1)＝(1/3)a^2＋ab＋ｂ^2

{∫[0→1]f(x)dx}^2 ＝{∫[0→1](ａx＋ｂ)dx}^2＝{[(1/2)ax^2＋ｂx] (0～1)}^2
＝{(1/2)a＋ｂ}^2＝(1/4)a^2＋aｂ＋ｂ^2

∴ 右辺－左辺＝{(1/3)a^2＋ab＋ｂ^2}－{(1/4)a^2＋aｂ＋ｂ^2}
　　　　　　　　＝(1/12)a^2 ＞０ (１次関数だからａ≠0で、等号はつかない)

したがって、{∫[0→1]f(x)dx}^2 ＜∫[0→1]{f(x)}^2dx

(注)ただし、平方完成は必ず出来るようにしておかないと、先々困るでしょう。

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■30843 / inTopicNo.6)

　Re[2]: 証明のしかたが分かりません。

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□投稿者/ れく一般人(18回)-(2008/01/18(Fri) 23:19:00)

Ｘさん、ＤＡＮＤＹ　Ｕさん

ありがとうございました。
（左辺）－（右辺）＜０　となればいいんですよね??

平方完成は
aX^2+bX+c を a(X+d)^2+e のような形にすることでいいですか？

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■30847 / inTopicNo.7)

　Re[3]: 証明のしかたが分かりません。

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□投稿者/ ＤＡＮＤＹ　Ｕ付き人(95回)-(2008/01/19(Sat) 00:06:45)

> （左辺）－（右辺）＜０　となればいいんですよね??
はい、そうです。
> 平方完成は
> aX^2+bX+c を a(X+d)^2+e のような形にすることでいいですか？
はい、そうです。
（スムーズに変形できるようにしておきましょう）