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■30828
/ inTopicNo.1)
証明のしかたが分かりません。
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□投稿者/ れく
一般人(14回)-(2008/01/18(Fri) 17:16:03)
f(x) が一次関数のとき、次の不等式を証明せよ。
{∫[0→1]f(x)dx}^2 < ∫[0→1]{f(x)}^2dx
証明のときどのような文章で書いていいか分かりません。
分かる方お願いします。
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■30829
/ inTopicNo.2)
Re[1]: 証明のしかたが分かりません。
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□投稿者/ X
付き人(56回)-(2008/01/18(Fri) 17:23:29)
f(x)=ax+b
(a,bは定数)
と置いて
(左辺)-(右辺)
を具体的に計算してa,bについて平方完成し
(左辺)-(右辺)<0
を示します。
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■30834
/ inTopicNo.3)
Re[2]: 証明のしかたが分かりません。
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□投稿者/ れく
一般人(15回)-(2008/01/18(Fri) 20:34:31)
すみません。
「平方完成」がよく分からないのですけど、教えてくださいませんか?
索引で調べても分かりませんでした。
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■30837
/ inTopicNo.4)
Re[3]: 証明のしかたが分かりません。
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□投稿者/ X
付き人(57回)-(2008/01/18(Fri) 22:06:23)
2008/01/18(Fri) 22:11:06 編集(投稿者)
ネットで検索すれば出てきますよ。
例えば
http://math-study.seesaa.net/article/23649228.html
を見てみてはどうでしょうか?。
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■30840
/ inTopicNo.5)
Re[1]: 証明のしかたが分かりません。
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□投稿者/ DANDY U
付き人(93回)-(2008/01/18(Fri) 22:49:35)
ところでこの場合、平方完成する必要はないのでは ?
f(x)=ax+b とおくと
∫[0→1]{f(x)}^2dx=∫[0→1](ax+b)^2dx=∫[0→1](a^2・x^2+2abx+b^2)dx
=[(1/3)a^2・x^3+abx^2+b^2・x] (0〜1)=(1/3)a^2+ab+b^2
{∫[0→1]f(x)dx}^2 ={∫[0→1](ax+b)dx}^2={[(1/2)ax^2+bx] (0〜1)}^2
={(1/2)a+b}^2=(1/4)a^2+ab+b^2
∴ 右辺−左辺={(1/3)a^2+ab+b^2}−{(1/4)a^2+ab+b^2}
=(1/12)a^2 >0 (1次関数だからa≠0で、等号はつかない)
したがって、{∫[0→1]f(x)dx}^2 <∫[0→1]{f(x)}^2dx
(注)ただし、平方完成は必ず出来るようにしておかないと、先々困るでしょう。
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■30843
/ inTopicNo.6)
Re[2]: 証明のしかたが分かりません。
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□投稿者/ れく
一般人(18回)-(2008/01/18(Fri) 23:19:00)
Xさん、DANDY Uさん
ありがとうございました。
(左辺)−(右辺)<0 となればいいんですよね??
平方完成は
aX^2+bX+c を a(X+d)^2+e のような形にすることでいいですか?
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■30847
/ inTopicNo.7)
Re[3]: 証明のしかたが分かりません。
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□投稿者/ DANDY U
付き人(95回)-(2008/01/19(Sat) 00:06:45)
> (左辺)−(右辺)<0 となればいいんですよね??
はい、そうです。
> 平方完成は
> aX^2+bX+c を a(X+d)^2+e のような形にすることでいいですか?
はい、そうです。
(スムーズに変形できるようにしておきましょう)
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■30856
/ inTopicNo.8)
Re[4]: 証明のしかたが分かりません。
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□投稿者/ れく
一般人(25回)-(2008/01/19(Sat) 09:03:06)
ありがとうございます。
解決済み!
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