 | ■No30765に返信(あさみさんの記事)
> 数列x[n] . y[n]が
> x[1]=1 . y[1]=1
>
> x[n+1]=1/5x[n] - 3/5y[n]
> y[n+1]=3/5x[n] + 1/5y[n]
> (n=1.2.3.4.5....)
>
> として与えられている。このx[n] . y[n]に対して、xy平面上の点P[n](x[n] ,y[n])を考える。三角形OP[n]P[n+1]の面積をS[n]とおくとき、
>
> (1)S[1]を求めよ
> (2)∑[n=1→∞]S[n]をもとめよ。
(1) P[1](1,1),P[2](-2/5,4/5) より S[1] = 1/2・|1・4/5 - 1・(-2/5)| = 3/5
(2) S[n] = 1/2・|x[n]・y[n+1] - x[n+1]・y[n]| = 3/10・(x[n]^2+y[n]^2) ←漸化式代入
ここで漸化式より、x[n+1]^2+y[n+1]^2 = 2/5・(x[n]^2+y[n]^2) で、x[n]^2+y[n]^2 = 2・(2/5)^(n-1)
よって、S[n] = 3/5・(2/5)^(n-1) で ∑[n=1→∞]S[n] = (3/5)/(1-2/5) = 1
|
