数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 部分分数 / Page: 0]

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■30291 / inTopicNo.1)

　部分分数

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□投稿者/ hiro 一般人(2回)-(2007/12/20(Thu) 05:13:57)

1/(z^2-1)(z-3)

z/(z^4-1)

すみません､とても初歩的なもので…｡

この2つの部分分数を求めると､どのようになるんでしょうか??ちょっと混乱して分

からなくなってしまいました｡｡｡よろしくお願いします｡

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■30293 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 部分分数

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□投稿者/ ＤＡＮＤＹ　Ｕ付き人(51回)-(2007/12/20(Thu) 09:31:40)

2007/12/20(Thu) 09:33:19 編集(投稿者)

■No30291に返信(hiroさんの記事)
> 1/(z^2-1)(z-3)

A/(Z-1)＋B/(z+1)＋C/(z-3)＝{A(z+1)(z-3)+B(z-1)(z-3)+C(z-1)(z+1)}/(z^2-1)(z-3)
＝{(A+B+C)z^2－(2A+4B)z＋(-3A+3B-C)}/(z^2-1)(z-3)

これが、1/(z^2-1)(z-3) と等しくなるには
A+B+C＝0 ,-(2A+4B)＝0　,-3A+3B-C＝1　でなければなりません。
よって、これを解けば、A,B,C が求まり部分分数に分けられます。

> z/(z^4-1)
z^4－1＝(z^2+1)(z-1)(z+1) だから

(Az+B)/(z^2+1)＋C/(z-1)＋D/(z+1) とおいて、上の問題と同様に通分をして、
分子がｚになるように連立方程式を立てて、それを解けばできます。

面倒ですが、１文字ずつ消去しながら解くしかないですね。

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■30298 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 部分分数

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□投稿者/ サボテン軍団(105回)-(2007/12/20(Thu) 11:18:22)

DANDY Uさんが既に書いておられますが・・・

1/(z^2-1)=1/2[1/(z-1)-1/(z+1)]・・・①
1/[(z+1)(z-3)]=1/4[1/(z-3)-1/(z+1)]
などを用いれば1番は分解できるでしょう。

2番は
1/(z^4-1)=1/2[1/(z^2-1)-1/(z^2+1)]
と①を用いれば解けると思います。

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■30309 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 部分分数

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス一般人(24回)-(2007/12/21(Fri) 01:26:50)

そのまま解答で用いるには多少危険がはらみますが、計算上速いと思われる方法を紹介しておきます。(1)を例にしますね。
$2$\frac{1}{(z^2-1)(z-3)}=\frac{A}{z-1}+\frac{B}{z+1}+\frac{C}{z-3}...(\dagger )$ と置きます。ここまでは、通常の方法と同じです。

ここで両辺に $2$z-1$ をかけると
$2$\frac{1}{(z+1)(z-3)}=A+(z-1)\frac{B}{z+1}+(z-1)\frac{C}{z-3}$
となります。この式に $2$z=1$ を代入すると $2$A=-\frac{1}{4}$ が求まります。

同様に・・・
$2$(\dagger )$ に $2$z+1$ をかけて
$2$\frac{1}{(z-1)(z-3)}=(z+1)\frac{A}{z-1}+B+(z+1)+\frac{C}{z-3}$
となります。この式に $2$z=-1$ を代入すると $2$B=\frac{1}{8}$ が求まります。

$2$(\dagger )$ に $2$z-3$ をかけて
$2$\frac{1}{(z^2-1)}=(z-3)\frac{A}{z-1}+(z-3)\frac{B}{z+1}+C$
となります。この式に $2$z=3$ を代入すると $2$C=\frac{1}{8}$ が求まります。

ここで解答に書くと危険がはらむというのは $2$(\dagger )$ の時点で式は $2$z=\pm1,3$ での値は定義されてません。もっというと $2$A$ を求めるのに $2$z-1$ をかけて分母の $2$z-1$ の約分することは $2$z\neq 1$ を前提としています。なのに約分したのち $2$z=1$ を代入してよいかという点で解答に書くには危険だということです。事実からいえば実は $2$z=1$ を代入してるのではなく $2$z$ を1に近づける（ $2$\lim_{z\rightarrow 1}$ をとる）ことで解決しますが、今のところあまりきにしなくてもいいでしょう。

この方法は解答に表立って使わず、 $2$A,B,C$ の値を横隅のスペースで計算して使ったのち、
『 $2$\frac{1}{(z^2-1)(z-3)}=\frac{A}{z-1}+\frac{B}{z+1}+\frac{C}{z-3}$
これを解いて $2$A=...,B=...,C=...$ 』とさらりと書いてもよいかと思います。
ただし、計算過程を問題としてる場合はこの方法は減点されますので注意です。

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