 | 書き込んでいる間に、miyupさんが回答されておられましたが、違う解法だし、せ
っかく打ち込んだので送信します。参考になればど～ぞ！
[解法１]
まず,１組の解は、ａ＝１ から順に当てはめて求める。（せいぜい数通り当てはめ
ればよいでしょう）
ａ＝1 を代入すると ｂ＝8 となり、(ａ,ｂ)＝(1,8) が１つの解です。
ａが 5増加し、ｂが 3減少すると,(3a+5ｂ)は変化しないので
(ａ,ｂ)＝(1+5,8-3)＝(6,5) も解となります。
同様に、(ａ,ｂ)＝(6+5,5-3)＝(11,2) も解となります。
続けて (11+5,2-3)＝(16,-1) この方程式の解になるのだが、自然数の範囲から外れるので不適当。
よって、解は３組存在します。
[解法２]
3a+5ｂ＝43・・・(1) を変形して、3ａ＝(42－6ｂ)＋(ｂ＋1)
∴ ｂ＋1＝3(ａ－14＋ｂ) となるので(ｂ＋1)は３の倍数となるので
ｂ＋1＝3ｍ (ｍ：整数)とおけます。
ｂ＝3ｍ－1 を(1)に代入して整理すると，ａ＝－5ｍ＋16
よって、[ａ＝－5ｍ＋16 ,ｂ＝3ｍ－1 ]
がこの方程式の一般解となり、ｍに整数を代入していくと無数の整数解が次々と求
まっていきます。この問題は自然数の範囲だから、ｍ＝1,2,3 のときだけになり、
解は３組となります。
この問題に関しては[解法１]で十分ですが、3,5 に当たる数がもっと大きくなったり,より進んだ数学をする場合には、[解法２]の不定方程式の一般解を求める方法が有効になってきます。
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