| 書き込んでいる間に、miyupさんが回答されておられましたが、違う解法だし、せ っかく打ち込んだので送信します。参考になればど〜ぞ!
[解法1] まず,1組の解は、a=1 から順に当てはめて求める。(せいぜい数通り当てはめ ればよいでしょう) a=1 を代入すると b=8 となり、(a,b)=(1,8) が1つの解です。 aが 5増加し、bが 3減少すると,(3a+5b)は変化しないので (a,b)=(1+5,8-3)=(6,5) も解となります。 同様に、(a,b)=(6+5,5-3)=(11,2) も解となります。 続けて (11+5,2-3)=(16,-1) この方程式の解になるのだが、自然数の範囲から外れるので不適当。 よって、解は3組存在します。
[解法2] 3a+5b=43・・・(1) を変形して、3a=(42−6b)+(b+1) ∴ b+1=3(a−14+b) となるので(b+1)は3の倍数となるので b+1=3m (m:整数)とおけます。 b=3m−1 を(1)に代入して整理すると,a=−5m+16 よって、[a=−5m+16 ,b=3m−1 ] がこの方程式の一般解となり、mに整数を代入していくと無数の整数解が次々と求 まっていきます。この問題は自然数の範囲だから、m=1,2,3 のときだけになり、 解は3組となります。
この問題に関しては[解法1]で十分ですが、3,5 に当たる数がもっと大きくなったり,より進んだ数学をする場合には、[解法2]の不定方程式の一般解を求める方法が有効になってきます。
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