 | 2007/12/09(Sun) 16:55:37 編集(投稿者)
■No30065に返信(キノさんの記事)
F(x)＝lim[n→∞] {x^(2n)-x^(2n-1)+ax^2+bx}/{x^(2n)+1}
について
|x|＜1 のとき lim[n→∞] x^(2n)＝lim[n→∞] x^(2n-1)＝0 より
F(x)＝ax^2+bx …①
|x|＞1 のとき lim[n→∞] 1/x^(2n)＝0 より
分子分母を x^(2n) で割って
F(x)＝lim[n→∞] {x^(2n)-x^(2n-1)+ax^2+bx}/{x^(2n)+1}
＝lim[n→∞] {1-1/x+ax^2/(x^(2n))+bx/(x^(2n))}/{1+1/x^(2n)}
＝1-1/x …②
x＝1 のとき
F(x)=(a+b)/2 …③
x＝-1 のとき
F(x)=(2+a-b)/2 …④
①③：lim[x→1-0](ax^2+bx)＝a+b ＝(a+b)/2 より、a+b＝0
①④：lim[x→-1+0](ax^2+bx)＝a-b ＝(2+a-b)/2 より、a-b＝2
よって、a=1, b=-1。
このとき、F(1)=0, F(-1)=2 で
②：lim[x→1+0](1-1/x)＝0、lim[x→-1-0](1-1/x)＝2
となるので
全てのxについてF(x)は連続。
以上より、a=1, b=-1。
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