数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 円の方程式と積分 / Page: 0]

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■29992 / inTopicNo.1)

　円の方程式と積分

□投稿者/ 幻一般人(1回)-(2007/12/06(Thu) 18:32:05)

円の方程式は積分できるのでしょうか？
例えば
y^2+x^2=25
を定積分して求まってしまった場合は
πを用いずに面積を出せてしまうのでしょうか？
不思議で不思議でなりません、誰か教えてください。

ちなみに下記まではできました。

y^2=25-x^2
y=√(25-x^2)
として

積分して
∫[-10→10]f(x)dx=∫[-10→10](√(25-x^2))dx

円は偶関数なので
2∫[0→10]f(x)dx=2∫[0→10](√(25-x^2))dx

ここまでです。

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■29993 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 円の方程式と積分

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□投稿者/ Ｎ一般人(18回)-(2007/12/06(Thu) 19:01:51)

その前に、積分範囲がおかしくないですか？
x^2+y^2=25なら、-5～5までが範囲になるので、
∫[-5→5]√(25-x^2)*dx=2∫[0→5]√(25-x^2)*dxとなるのでは？
そして、この後は、x=5sinθ、dx=cosθ*dθ、積分範囲は0→π/2となりますので、結局πとは離れられない運命にあるようです。

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■29994 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 円の方程式と積分

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス一般人(2回)-(2007/12/06(Thu) 19:14:25)

積分は関数に対して行いますので、円の方程式に対してはできません。（少なくとも高校の範囲では）
$2$x^2+y^2=25$ は半径5、中心(0,0)円の方程式ですが、円の関数とはいいません。それはひとつのxの値にたいしてただひとつyの値が定まらないからです。直感的にはy軸に平行な直線と関数の交点が2つ以上あってはいけません。円の場合例えば、 $2$x=\frac{1}{2}$ に対して $2$y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ と2つありますよね。

$2$x^2+y^2=25$ は $2$y=\pm\sqrt{25-x^2}$ と同値ですから関数にそれぞれ分けて考えることで求めることはできます。具体的には
$2$\displaystyle\int^5_{-5}\sqrt{25-x^2}dx-(-\displaystyle\int^5_{-5}\sqrt{25-x^2}dx)=2\displaystyle\int^5_{-5}\sqrt{25-x^2}$ です。

この関数を積分することは数学ⅢＣの範囲となりますが、 $2$x=5\sin {\theta}$ と置換することでちゃんと $2$\pi$ は定積分の値として出てきます。

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■30000 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 円の方程式と積分

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□投稿者/ 幻一般人(2回)-(2007/12/06(Thu) 23:17:19)

回答ありがとうございます。

あー、結局πが出てくるようですね。
この方法でπが求まりそうですね。
なるほど、それにしてもなぜsinやcosが出てくるのですか？

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■30001 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 円の方程式と積分

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□投稿者/ らすかる付き人(81回)-(2007/12/06(Thu) 23:28:22)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

＞この方法でπが求まりそうですね。
求まりません。sinに置換したところで積分範囲にπを使うだけです。
数値積分するなら粗い近似値が求まることは求まりますが、精度が悪くて使いものになりません。

＞なるほど、それにしてもなぜsinやcosが出てくるのですか？
sinやcosを使わないと積分できないからです。

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■30141 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 円の方程式と積分

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□投稿者/ 幻一般人(3回)-(2007/12/10(Mon) 22:26:22)

そういうことでしたか・・・どうもありがとうございました。

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