 | △ABCの外接円の半径をRとすると、正弦定理により
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
∴
a=2RsinA
b=2RsinB
c=2RsinC
これらを
(a+c)c=b^2
に代入すると
(sinA+sinC)sinC=(sinB)^2 (A)
ここで
A=π-B-C (B)
(A)(B)より
{sin(B+C)+sinC}sinC=(sinB)^2
これより
sin(B+C)sinC+(sinC)^2=(sinB)^2
sin(B+C)sinC+(1-cos2C)/2=(1-cos2B)/2
(∵)半角の公式
sin(B+C)sinC+(cos2B-cos2C)/2=0
sin(B+C)sinC-sin(B+C)sin(B-C)=0
(∵)和積の公式
sin(B+C){sinC-sin(B-C)}=0
更に{}内に和積の公式を使うと
sin(B+C)cos(B/2)sin{(2C-B)/2}=0 (B)
ここで
0<B+C<π
ですのでsin(B+C)≠0
又
0<B<π (C)
より
0<B/2<π/2
∴cos(B/2)≠0
∴(B)より
sin{(2C-B)/2}=0
∴(2C-B)/2=nπ (D)
(nは任意の整数)
後はA,B,Cが△ABCの内角であることを使って
n=0
を示していきます。
(D)より
B=2C-2nπ
これを(C)へ代入すると
nπ<C<π/2+nπ (E)
(E)が
0<C<π
に含まれるようにしかnは取れませんので
n=0
∴(D)より
B=2C
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