| △ABCの外接円の半径をRとすると、正弦定理により a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ∴ a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC これらを (a+c)c=b^2 に代入すると (sinA+sinC)sinC=(sinB)^2 (A) ここで A=π-B-C (B) (A)(B)より {sin(B+C)+sinC}sinC=(sinB)^2 これより sin(B+C)sinC+(sinC)^2=(sinB)^2 sin(B+C)sinC+(1-cos2C)/2=(1-cos2B)/2 (∵)半角の公式 sin(B+C)sinC+(cos2B-cos2C)/2=0 sin(B+C)sinC-sin(B+C)sin(B-C)=0 (∵)和積の公式 sin(B+C){sinC-sin(B-C)}=0 更に{}内に和積の公式を使うと sin(B+C)cos(B/2)sin{(2C-B)/2}=0 (B) ここで 0<B+C<π ですのでsin(B+C)≠0 又 0<B<π (C) より 0<B/2<π/2 ∴cos(B/2)≠0 ∴(B)より sin{(2C-B)/2}=0 ∴(2C-B)/2=nπ (D) (nは任意の整数) 後はA,B,Cが△ABCの内角であることを使って n=0 を示していきます。 (D)より B=2C-2nπ これを(C)へ代入すると nπ<C<π/2+nπ (E) (E)が 0<C<π に含まれるようにしかnは取れませんので n=0 ∴(D)より B=2C
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