 | 2007/12/06(Thu) 17:30:03 編集(投稿者)
x=|y|-1 (A)
x=ay^2+b (B)
とします。
(B)より
dx/dy=2ay
∴(B)上の点(au^2+b,u)における接線の方程式は
x=2au(y-u)+au^2+b
整理して
x=2auy-au^2+b (C)
一方(A)より
y<0のときx=-y-1 (A)'
0≦yのときx=y-1 (A)"
ですが、(A)(B)のx軸に関する対称性から(A)'(A)"の一方に(B)が接すれば
他方も必ず接しますので(A)"にのみ注目して(C)と比較すると
2au=1 (D)
-au^2+b=-1 (E)
(D)(E)よりuを消去して
b=1/(4a)-1 (F)
更に(A)とy軸で囲まれた図形の面積をSとすると
S=∫[-√(-b)→√(-b)](-ay^2-b)dy
=2[-(1/3)ay^3-by][0→√(-b)](∵)(A)はyの偶関数
=2(-a/3+1)(-b)^(3/2) (G)
(F)(G)より
S=2(1-a/3){1-1/(4a)}^(3/2) (H)
(H)をaの関数と見て増減を考えます。
但しS≧0であることからaの変域は更に絞り込まれます。
(1-a/3){1-1/(4a)}≧0
かつ
1-1/(4a)≧0
これよりa>0に注意すると
(a-3)(4a-1)≦0
かつ
4a-1≧0
∴1/4≦a≦3 (I)
となります。
こちらの計算では
(a,b)=(1,-3/4)
になりました。
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