| 2007/12/06(Thu) 17:30:03 編集(投稿者)
x=|y|-1 (A) x=ay^2+b (B) とします。 (B)より dx/dy=2ay ∴(B)上の点(au^2+b,u)における接線の方程式は x=2au(y-u)+au^2+b 整理して x=2auy-au^2+b (C) 一方(A)より y<0のときx=-y-1 (A)' 0≦yのときx=y-1 (A)" ですが、(A)(B)のx軸に関する対称性から(A)'(A)"の一方に(B)が接すれば 他方も必ず接しますので(A)"にのみ注目して(C)と比較すると 2au=1 (D) -au^2+b=-1 (E) (D)(E)よりuを消去して b=1/(4a)-1 (F) 更に(A)とy軸で囲まれた図形の面積をSとすると S=∫[-√(-b)→√(-b)](-ay^2-b)dy =2[-(1/3)ay^3-by][0→√(-b)](∵)(A)はyの偶関数 =2(-a/3+1)(-b)^(3/2) (G) (F)(G)より S=2(1-a/3){1-1/(4a)}^(3/2) (H) (H)をaの関数と見て増減を考えます。 但しS≧0であることからaの変域は更に絞り込まれます。 (1-a/3){1-1/(4a)}≧0 かつ 1-1/(4a)≧0 これよりa>0に注意すると (a-3)(4a-1)≦0 かつ 4a-1≧0 ∴1/4≦a≦3 (I) となります。
こちらの計算では (a,b)=(1,-3/4) になりました。
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