数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 確率と漸化式！！ / Page: 0]

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■29465 / inTopicNo.1)

　確率と漸化式！！

□投稿者/ 増田秀一郎一般人(2回)-(2007/11/17(Sat) 16:59:45)

nは2以上の自然数とする。袋の中に(2n-3)個の白球と3個の赤球が入っていて、A,Bの2人はAから1球ずつ交互に、この袋から球を取り出す。3個目の赤球を取り出した方を勝ちとする。取り出した球はもとに戻さないものとする。
(1)Aがちょうどk個の球を取り出して勝つ確率 $2$p_k$ を求めよ
(2)Aが勝つ確率 $2$P_k$ を求め、AとBのどちらが有利であるか調べよ

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■29540 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 確率と漸化式！！

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□投稿者/ 増田秀一郎一般人(3回)-(2007/11/19(Mon) 21:10:42)

済みません。お手数ですが、どなたかお願いします(>_<)

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■29548 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 確率と漸化式！！

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□投稿者/ miyup 付き人(80回)-(2007/11/20(Tue) 00:19:52)

2007/11/20(Tue) 00:25:25 編集(投稿者)

■No29465に返信(増田秀一郎さんの記事)
> nは2以上の自然数とする。袋の中に(2n-3)個の白球と3個の赤球が入っていて、A,Bの2人はAから1球ずつ交互に、この袋から球を取り出す。3個目の赤球を取り出した方を勝ちとする。取り出した球はもとに戻さないものとする。
> (1)Aがちょうどk個の球を取り出して勝つ確率 $2$p_k$ を求めよ
$2$p_k={}_{2(k-1)}C_2\times\frac{{}_3P_2\cdot{}_{2n-3}P_{2(k-2)}}{{}_{2n}P_{2k-1}}=\frac{3(k-1)(2k-3)}{2n(n-1)(2n-1)}$
> (2)Aが勝つ確率 $2$P_n$ を求め、AとBのどちらが有利であるか調べよ
$2$P_n=\sum_{k=2}^n p_k=\sum_{k=1}^n p_k=\frac{4n-5}{8n-4}=\frac12-\frac{3}{8n-4}<\frac12$
よって、Bの方が有利

n=2のとき赤3白1 ooo→p2　　　　　　　　　()内は並べ替えあり
n=3のとき赤3白3 ooo→p2, (ooxx)o→p3
n=4のとき赤3白5 ooo→p2, (ooxx)o→p3, (ooxxxx)o→p4
n=5のとき赤3白7 ooo→p2, (ooxx)o→p3, (ooxxxx)o→p4, (ooxxxxxx)o→p5
と具体的にやってみて法則を見つけました(どこかにまちがいがあるかもしれません)

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■29575 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 確率と漸化式！！

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□投稿者/ ＤＡＮＤＹ　Ｕ一般人(17回)-(2007/11/20(Tue) 19:10:00)

miyup さんと違う方法で解きました。

まず、Ａのｋ個目をとる直前(2k-2個)までに、赤球が２つだけ取り出されている確率を求めます。
　すべて(2n個)から(2k-2)個を取り出す全ての組み合わせの数は、2nＣ(2k-2)通り
　白球(2n-3)個から白(2k-4)個を取り出す組み合わせの数は、(2n-3)Ｃ(2k-4)通り
　赤球３個から２個を取り出す組み合わせの数は、3Ｃ2 通り
よって、(2k-2個)までに、赤球が２つだけ含まれる確率は、3Ｃ2*(2n-3)Ｃ(2k-4)／2nＣ(2k-2)

Ａのｋ個目が赤である確率は、1/(2n－2k＋2)
よって、Pk＝3Ｃ2*(2n-3)Ｃ(2k-4)／2nＣ(2k-2)×{1/(2n－2k＋2)}
　　　　＝3(k-1)(2k-3)/{2n(2n-1)(n-1)}
(2) は、miyup さんと同じです。

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