数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 凸四角形について・・・ / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ3 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■29464 / inTopicNo.1)

　凸四角形について・・・

□投稿者/ しげ一般人(1回)-(2007/11/17(Sat) 16:52:23)

平面上に凸四角形ABCDがあり、AB=x、AD=y、BD=2、∠BAD=60°、∠BCD=90°である。
(1)x、yが一定で辺BC、CDの長さが変化する時、対角線ACの長さの最大値を求めよ。
(2)さらにx、yが変化する時、対角線ACの長さの最大値を求めよ。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■29551 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 凸四角形について・・・

▲▼■

□投稿者/ しげ一般人(2回)-(2007/11/20(Tue) 01:05:02)

済みません。どなたかお助け下さい・・・（泣）

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■29556 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 凸四角形について・・・

▲▼■

□投稿者/ miyup 付き人(81回)-(2007/11/20(Tue) 08:03:09)

2007/11/20(Tue) 08:03:53 編集(投稿者)

■No29464に返信(しげさんの記事)
> 平面上に凸四角形ABCDがあり、AB=x、AD=y、BD=2、∠BAD=60°、∠BCD=90°である。
> (1)x、yが一定で辺BC、CDの長さが変化する時、対角線ACの長さの最大値を求めよ。
△BCDは直角三角形で、点Cは直径BD(=2)の外接円周上を動く
BDの中点(外接円の中心)をMとおくと、最大AC=AM+1 (←AMは中線定理で求める)
> (2)さらにx、yが変化する時、対角線ACの長さの最大値を求めよ。
△ABDの外接円(点Aは円上の点)を考えれば、明らかにx=yのときAC最大

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■29558 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 別解

▲▼■

□投稿者/ 疲労一般人(11回)-(2007/11/20(Tue) 08:46:15)

2007/11/20(Tue) 08:46:41 編集(投稿者)

(1)
BCの中点を原点O(0,0)とし、B、Dををれぞれ(1,0)、(-1,0)とする座標系を考える。
このとき点CはBCを直径とする半径1の円周上に存在する。
したがって、角BOCをθとすると、点Cの座標は( $2$\cos \theta$ , $2$\sin \theta$ )とおける。
次に、AO=z、角BOA=φ(>0)とすると、点Aの座標は、( $2$z\cos \phi$ , $2$-z\sin \phi$ )となる。
よって
$2$ AC^2 =(z\cos \phi - \cos \theta)^2 + (-z\sin \phi - \sin \theta)^2 = z^2 - 2z \cos (\theta + \phi) +1$
となる。今、x、yが一定と仮定しているので、zも定数であるので、ACが最大となるのは、 $2$\cos (\theta + \phi)$ が最小となる時である。
すなわち $2$\theta + \phi=180^{\circ}$ で、線分ACはBDの中点Oを通る。そのとき $2$AC=\sqrt{z^2+1}$ 。

また、三角形AODと三角形AOBにそれぞれ余弦定理を適用して、
$2$ x^2=z^2+1-2z\cos \phi$
$2$ y^2=z^2+1+2z\cos \phi$
2式を足して、zについて整理すれば、
$2$ z^2=\frac{x^2+y^2-2}{2}$
以上より、ACの最大値は
$2$ AC_{max}=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}$

(2)
三角形ABDについて余弦定理を適用
$2$ x^2+y^2-xy=4$
これをxかyについて解いて、ACに代入して最大値を調べれば求まる。はず。。。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■29560 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 別解

▲▼■

□投稿者/ 豆一般人(8回)-(2007/11/20(Tue) 10:31:44)

＞疲労さん
(1)
cos(θ+φ)=-1のとき、
AC^2[max]=z^2+2z+1=(x^2+y^2)/2+√(2(x^2+y^2-2))
(2)
x^2+y^2≧2xy=2(x^2+y^2-4)
∴x^2+y^2≦8　等号はx=y=2のとき、
AC^2[max}=4+2√3
AC[max]=1+√3

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■29571 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 別解

▲▼■

□投稿者/ 疲労一般人(12回)-(2007/11/20(Tue) 17:40:48)

＞豆さん

すいません訂正ありがとうございます！

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■29582 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 別解

▲▼■

□投稿者/ しげ一般人(3回)-(2007/11/21(Wed) 00:24:18)

よく理解できました。付き合って下さったお二方、どうもありがとうございました！！

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター