 | 2007/10/27(Sat) 21:31:01 編集(投稿者)
■No28990に返信(増田秀一郎さんの記事)
>  とする。 平面上の2つの放物線  、 をそれぞれC1、C2とおき、C1とC2の共通接線を考える。
> (1)共通接線の方程式を求めよ。
C1,C2との接点のx座標をそれぞれs(>0),t(<0)とおくと
C1での接線の式：y=2sx-s^2
C2での接線の式：y=-2atx+at^2-1
係数比較して、s=-at ,-s^2=at^2-1 より、s=±√{a/(a+1)}
よって接線の式は、y=±2√{a/(a+1)}x-a/(a+1)。
> (2)共通接線とC1、C2で囲まれた図形の面積を各々S1、S2とする時、
> (ⅰ)S2/S1を求めよ。
f(x)=2√{a/(a+1)}x-a/(a+1) とおく。図形の対称性より
S1=2∫[0,s]{x^2-f(x)}dx=2∫[0,s](x-s)^2dx=2/3・s^3
S2=2∫[t,0]{f(x)-(-at^2-1)}dx=2a∫[0,s](x-t)^2dx=-2a/3・t^3
s^3=-a^3・t^3 より、S2/S1=1/a^2
> (ⅱ)不等式 S1S2≦(1/3)(2/3)^4が成り立つことを示せ。
S1S2≦(1/3)(2/3)^4 ⇔ 2/3・s^3・(-2a/3)・t^3≦(1/3)(2/3)^4 ⇔ a/(a+1)^3≦4/27 を示せばよい
g(a)=4(a+1)^3-27a とおくと、a>0 における最小値は g(1/2)=0 より
g(a)≧0 すなわち不等式が成り立つことが示された
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