 | 2007/10/29(Mon) 00:12:39 編集(投稿者)
■No29007に返信(みかんさんの記事)
>>(1)(a_n)^2+3(b_n)^2を求めよ。
> (a_n)^2+3(b_n)^2
> =(√7)^(2n){(cosnα)^2+(1/3)(sinnα)^2}でいいですか。
a[n]^2+3b[n]^2
=(√7)^(2n){(cos nα)^2+(sin nα)^2}
=7^n になりました。
a[n]=(1/2){(2+√3i)^n+(2-√3i)^n}について
I[n]=(2+√3i)^n+(2-√3i)^n とおくと
I[n]={(2+√3i)^(n-1)+(2-√3i)^(n-1)}{(2+√3i)+(2-√3i)}-(2+√3i)(2-√3i){(2+√3i)^(n-2)+(2-√3i)^(n-2)}=4I[n-1]-7I[n-2]
より
a[n]=4a[n-1]-7a[n-2] で a[1]=2, a[2]=1 から、全てのa[n]は整数となる。
同様に
b[n]=4b[n-1]-7b[n-2] で b[1]=1, b[2]=4 から、全てのb[n]は整数となる。
ここで、a[n],b[n]が互いに素でないとする。すなわち a[n]=cA[n],b[n]=cB[n] (cはc>0,c≠1の整数)
このとき
a[n]^2+3b[n]^2=7^n に代入して c^2{A[n]^2+3B[n]^2}=7^n
すなわち c=7^m(m>0の整数)で、a[n],b[n]とも７の倍数になる。
ところが
a[1],a[2],b[1],b[2]とも７の倍数でないので矛盾。
よって、a[n],b[n]は互いに素である。
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