 | 2007/10/28(Sun) 01:05:09 編集(投稿者)
■No28986に返信(しげちゃんさんの記事)
> 実数 が   を満たしている
>
> (1) の取り得る値の範囲を求めよ
a+b+c=2 より b+c=2-a…①
a^2+b^2+c^2=12 より b^2+c^2=12-a^2 [≧0 から -2√3≦a≦2√3…②]
b^2+c^2=(b+c)^2-2bc に代入して、bc=a^2-2a-4…③
①③より、b,c は t^2-(2-a)t+(a^2-2a-4)=0 の実数解で、D≧0 から -2≦a≦10/3…④
②④より、-2≦a≦10/3…⑤
このとき
a^3+b^3+c^3=a^3+(b+c)^3-3bc(b+c) ←①③代入
=3a^3-6a^2-12a+32 =f(a) とおいて⑤の範囲で微分・増減表から
∴8≦f(a)≦328/9
> (2) の時、 を満たす自然数nをすべて求めよ。
a^3+b^3+c^3=8 の時 a=±2 で、①③より (a,b,c)=(2,2,-2),(2,-2,2),(-2,2,2)
このとき
100<2^n+2^n+(-2)^n<1000
を満たす自然数nを順に探せばよい。
[n:奇数のときは 100<2^n<1000、n:偶数のときは 100/3<2^n<1000/3 で探す]
∴n=6,7,8,9
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