 | ■No28985に返信(masuura kouheiさんの記事)
> m、nを0以上の整数の定数とする時、自然数xを要素とする集合
> A={x|m≦logx<m+1}
> B={x|-n≦log(1/x)<-n+1}
> について次の問いに答えよ。ただし、N(X)とは集合Xの要素の個数を表すものとする。対数はすべて常用対数（底は10）である。
A={x|m≦logx<m+1}={x|10^m≦x<10^(m+1)}
B={x|-n≦log(1/x)<-n+1}={x|-n≦-logx<-n+1}={x|n-1<logx≦n}={x|10^(n-1)<x≦10^n}
> (1)logN(A)-logN(B)の値を求めよ
N(A)=10^(m+1)-10^m=9・10^m, N(B)=10^n-10^(n-1)=9・10^(n-1)
より
logN(A)-logN(B)=log{N(A)/N(B)}=log{10^m/10^(n-1)}=m-(n-1)=m-n+1
> (2)A∩B≠Ф(空集合)の時、logN(A∩B)+logN(A∪B)≦5…①を満たすm、nの値をすべて求めよ。
A∩B≠Фの時、m=n または m=n-1 である。
m=n のとき、A∩B={10^m} より N(A∩B)=1、
A∪B={x|[10^(n-1)=]10^(m-1)<x<10^(m+1)} より N(A∪B)=10^(m+1)-10^(m-1)-1=99・10^(m-1)-1
よって①は、99・10^(m-1)-1≦100000 を満たす非負整数 m をいえばよい。
m=n-1 のとき、A∩B={x|10^m<x<10^(m+1)} より N(A∩B)=10^(m+1)-10^m-1=9・10^m-1、
A∪B={x|10^m≦x≦10^(m+1)} より N(A∪B)=9・10^m+1
よって①は、(9・10^m-1)(9・10^m+1)≦100000 を満たす非負整数 m をいえばよい。
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