数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: もっと簡単な解き方があるかもしれませんが… / Page: 0]

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■28471 / inTopicNo.1)

　整数問題

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□投稿者/ tantan 一般人(1回)-(2007/10/07(Sun) 14:59:13)

xの３次方程式4x^3-(a-2)x-(a+4)=0(aは整数）が、
整数でない正の有理数を解にもつとき、aの値とこの有理数解を求めよ。

難しいのでお願いします。
一応答えは出たのですが、正解かどうか分からないので
解説をお願いします。

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■28486 / inTopicNo.2)

　もっと簡単な解き方があるかもしれませんが…

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□投稿者/ だるまにおん大御所(397回)-(2007/10/07(Sun) 20:51:54)

4x^3-(a-2)x-(a+4)=0を変形するとa=4x^2-4x+6-10/(x+1)　(xは整数でないのでx≠-1)
aは整数なので10/(x+1)も整数となる。x＞0なので10/(x+1)は10/(x+1)は1～9のどれか。
10/(x+1)=1のときx=9　…不適
10/(x+1)=2のときx=4　…不適
10/(x+1)=3のときx=7/3　…可能性あり
10/(x+1)=4のときx=3/2　…可能性あり
10/(x+1)=5のときx=1　…不適
10/(x+1)=6のときx=2/3　…可能性あり
10/(x+1)=7のときx=3/7　…可能性あり
10/(x+1)=8のときx=1/4　…可能性あり
10/(x+1)=9のときx=1/9　…可能性あり
x=7/3,3/2,2/3,3/7,1/4,1/9のうち4x^2-4xが整数になるのは
x=3/2
のみで、このとき
a=5

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■28488 / inTopicNo.3)

　Re[2]: もっと簡単な解き方があるかもしれませんが…

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□投稿者/ らすかる大御所(894回)-(2007/10/07(Sun) 21:37:23)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

＞だるまにおんさん
ちょっとした疑問なのですが、
「aは整数なので10/(x+1)も整数となる」のはなぜですか？

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■28493 / inTopicNo.4)

　Re[3]: もっと簡単な解き方があるかもしれませんが…

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□投稿者/ むず一般人(3回)-(2007/10/07(Sun) 23:09:06)

すみません、よく分かりません。
10という数がどこから出てきたのかよく分からないです。

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■28497 / inTopicNo.5)

　Re[4]: もっと簡単な解き方があるかもしれませんが…

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□投稿者/ らすかる大御所(897回)-(2007/10/08(Mon) 00:22:29)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

とりあえず別解です。
4x^3-(a-2)x-(a+4)=0 が整数でない正の有理数を解にもつとき、
その解は x=p/4（qは4の倍数でない自然数）とおけます。
これを方程式に代入して整理すると p^3=4(a-2)p+16(a+4)
右辺は偶数ですのでpは偶数です。よってp=2qとおけば
x=q/2（qは正の奇数）となります。
これを方程式に代入してaについて整理すると a=q^2-2q+6-20/(q+2)
aは整数ですのでq+2は20の約数です。
qは正の奇数ですから、q=3で、そのとき解は3/2、a=5 となります。

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■28499 / inTopicNo.6)

　Re[5]: もっと簡単な解き方があるかもしれませんが…

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□投稿者/ だるまにおん大御所(399回)-(2007/10/08(Mon) 03:24:28)

>らすかるさん
ご指摘の通り、10/(x+1)が整数であるとは簡単に分かることではありませんでした。

>tantan、むずさん
上述の通り、猛烈に勘違いをしていましたので、私の回答は無視してください。

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