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■28471
/ inTopicNo.1)
整数問題
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□投稿者/ tantan
一般人(1回)-(2007/10/07(Sun) 14:59:13)
xの3次方程式4x^3-(a-2)x-(a+4)=0(aは整数)が、
整数でない正の有理数を解にもつとき、aの値とこの有理数解を求めよ。
難しいのでお願いします。
一応答えは出たのですが、正解かどうか分からないので
解説をお願いします。
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■28486
/ inTopicNo.2)
もっと簡単な解き方があるかもしれませんが…
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□投稿者/ だるまにおん
大御所(397回)-(2007/10/07(Sun) 20:51:54)
4x^3-(a-2)x-(a+4)=0を変形するとa=4x^2-4x+6-10/(x+1) (xは整数でないのでx≠-1)
aは整数なので10/(x+1)も整数となる。x>0なので10/(x+1)は10/(x+1)は1〜9のどれか。
10/(x+1)=1のときx=9 …不適
10/(x+1)=2のときx=4 …不適
10/(x+1)=3のときx=7/3 …可能性あり
10/(x+1)=4のときx=3/2 …可能性あり
10/(x+1)=5のときx=1 …不適
10/(x+1)=6のときx=2/3 …可能性あり
10/(x+1)=7のときx=3/7 …可能性あり
10/(x+1)=8のときx=1/4 …可能性あり
10/(x+1)=9のときx=1/9 …可能性あり
x=7/3,3/2,2/3,3/7,1/4,1/9のうち4x^2-4xが整数になるのは
x=3/2
のみで、このとき
a=5
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■28488
/ inTopicNo.3)
Re[2]: もっと簡単な解き方があるかもしれませんが…
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□投稿者/ らすかる
大御所(894回)-(2007/10/07(Sun) 21:37:23)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp
>だるまにおんさん
ちょっとした疑問なのですが、
「aは整数なので10/(x+1)も整数となる」のはなぜですか?
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■28493
/ inTopicNo.4)
Re[3]: もっと簡単な解き方があるかもしれませんが…
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□投稿者/ むず
一般人(3回)-(2007/10/07(Sun) 23:09:06)
すみません、よく分かりません。
10という数がどこから出てきたのかよく分からないです。
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■28497
/ inTopicNo.5)
Re[4]: もっと簡単な解き方があるかもしれませんが…
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□投稿者/ らすかる
大御所(897回)-(2007/10/08(Mon) 00:22:29)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp
とりあえず別解です。
4x^3-(a-2)x-(a+4)=0 が整数でない正の有理数を解にもつとき、
その解は x=p/4(qは4の倍数でない自然数)とおけます。
これを方程式に代入して整理すると p^3=4(a-2)p+16(a+4)
右辺は偶数ですのでpは偶数です。よってp=2qとおけば
x=q/2(qは正の奇数)となります。
これを方程式に代入してaについて整理すると a=q^2-2q+6-20/(q+2)
aは整数ですのでq+2は20の約数です。
qは正の奇数ですから、q=3で、そのとき解は3/2、a=5 となります。
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■28499
/ inTopicNo.6)
Re[5]: もっと簡単な解き方があるかもしれませんが…
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□投稿者/ だるまにおん
大御所(399回)-(2007/10/08(Mon) 03:24:28)
>らすかるさん
ご指摘の通り、10/(x+1)が整数であるとは簡単に分かることではありませんでした。
>tantan、むずさん
上述の通り、猛烈に勘違いをしていましたので、私の回答は無視してください。
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