数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 高2です。数列 / Page: 0]

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■28405 / inTopicNo.1)

　高2です。数列

□投稿者/ だんでらいおん一般人(3回)-(2007/10/04(Thu) 23:20:33)

次の数列の第ｎ項までの和Ｓnを求めよ。
a,2a+1,3a-2,4a+3,5a-4,・・・

奇数項と偶数項で別々の一般項を求めて、末項が偶数項目の時と、奇数項目の時で場合分けする方法で答えを出そうとしたのですが、いくら考えても分かりません。
出来れば僕と同じ方法で答えを出して欲しいです。
お願いします。

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■28406 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 高2です。数列

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン大御所(320回)-(2007/10/04(Thu) 23:38:02)

だんでらいおんさん，こんばんわ。

> 次の数列の第ｎ項までの和Ｓnを求めよ。
> a,2a+1,3a-2,4a+3,5a-4,・・・
>
>

数列の第 $2$k$ 項を求めてみましょう。考え方としては，
第 $2$1$ 項… $2$a=1\cdot a+(-1)^{1}\cdot 0$
第 $2$2$ 項… $2$2a+1=2\cdot a+(-1)^{2}\cdot(2-1)$
第 $2$3$ 項… $2$3a-2=3\cdot a+(-1)^{3}\cdot(3-1)$
……と考えていくと
第 $2$k$ 項… $2$k\cdot a+(-1)^{k}\cdot(k-1)$
となります。

この後は，
$2$ \sum_{k=1}^{n}\left\{k\cdot a+(-1)^{k}\cdot(k-1)\right\} \\ =\sum_{k=1}^{n}a\cdot k + \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k}(k-1)$
として，

前半部分は，
$2$ \sum_{k=1}^{n}a\cdot k = a\sum_{k=1}^{n}k = \frac{1}{2}an(n+1)$
と求めます。

後半部分に関しては，
$2$ T_{n} = \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k}(k-1)$
とおくと， $2$T_{n}$ は等比数列と等差数列の積の和になっているので，
$2$ T_{n} = (-1)\cdot 0 + (-1)^{2}\cdot 1 + (-1)^{3}\cdot 2 + \cdots (-1)^{n}\cdot (n-1) \\ (-1)T_{n} = (-1)^{2}\cdot 0 + (-1)^{3}\cdot 1 +\cdots + (-1)^{n+1}\cdot (n-1)$
の辺々を引き算して
$2$ (1+1)T_{n} = (-1)^{2}\cdot 1 + (-1)^{3}\cdot 1 + \cdots (-1)^{n}\cdot 1 - (-1)^{n+1}\cdot (n-1) \\ 2T_{n} = \displaystyle \frac{(-1)^{2}\left\{1-(-1)^{n-1}\right\}}{1+1} \\ =\frac{1-(-1)^{n-1}}{2} \\ \therefore T_{n} = \frac{1-(-1)^{n-1}}{4}$
と求められます。

よって，求める和は
$2$ \frac{1}{2}an(n+1)+\frac{1-(-1)^{n-1}}{4}$
となります。

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■28407 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 高2です。数列

▲▼■

□投稿者/ だんでらいおん一般人(5回)-(2007/10/05(Fri) 00:30:10)

2007/10/05(Fri) 00:54:51 編集(投稿者)

■No28406に返信(ウルトラマンさんの記事)
> だんでらいおんさん，こんばんわ。
>
>>次の数列の第ｎ項までの和Ｓnを求めよ。
>>a,2a+1,3a-2,4a+3,5a-4,・・・
>>
>>

> よって，求める和は
> $2$ \frac{1}{2}an(n+1)+\frac{1-(-1)^{n-1}}{4}$
> となります。
>

上式ですと例えばn=2,n=3のときなりたちませんよね？
僕は、

①奇数項の一般項Ａm=2m(a-1)-a+2

②偶数項の一般項Ｂt=2t(a+1)-1を使い、

(ⅰ)末項が偶数項の時
(ⅱ)末項が奇数項の時
で場合わけをして、それぞれの和を出して答えをだそうとしてみたのですが、この方法で解ける方いらっしゃいませんか？
お願いします。

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■28411 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 高2です。数列

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン大御所(321回)-(2007/10/05(Fri) 01:26:49)

すみません。ちょっと計算ミスしておりました。(T_T)/~~~

★★部分を参照願います。

>>次の数列の第ｎ項までの和Ｓnを求めよ。
>>a,2a+1,3a-2,4a+3,5a-4,・・・
>>
>>
>
> 数列の第 $2$k$ 項を求めてみましょう。考え方としては，
> 第 $2$1$ 項… $2$a=1\cdot a+(-1)^{1}\cdot 0$
> 第 $2$2$ 項… $2$2a+1=2\cdot a+(-1)^{2}\cdot(2-1)$
> 第 $2$3$ 項… $2$3a-2=3\cdot a+(-1)^{3}\cdot(3-1)$
> ……と考えていくと
> 第 $2$k$ 項… $2$k\cdot a+(-1)^{k}\cdot(k-1)$
> となります。
>
> この後は，
> $2$ \sum_{k=1}^{n}\left\{k\cdot a+(-1)^{k}\cdot(k-1)\right\} \\ =\sum_{k=1}^{n}a\cdot k + \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k}(k-1)$
> として，
>
> 前半部分は，
> $2$ \sum_{k=1}^{n}a\cdot k = a\sum_{k=1}^{n}k = \frac{1}{2}an(n+1)$
> と求めます。
>
> 後半部分に関しては，
> $2$ T_{n} = \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k}(k-1)$
> とおくと， $2$T_{n}$ は等比数列と等差数列の積の和になっているので，
> $2$ T_{n} = (-1)\cdot 0 + (-1)^{2}\cdot 1 + (-1)^{3}\cdot 2 + \cdots (-1)^{n}\cdot (n-1) \\ (-1)T_{n} = (-1)^{2}\cdot 0 + (-1)^{3}\cdot 1 +\cdots + (-1)^{n+1}\cdot (n-1)$
> の辺々を引き算して
> $2$ (1+1)T_{n} = (-1)^{2}\cdot 1 + (-1)^{3}\cdot 1 + \cdots (-1)^{n}\cdot 1 - (-1)^{n+1}\cdot (n-1) \\ 2T_{n} = \displaystyle \frac{(-1)^{2}\left\{1-(-1)^{n-1}\right\}}{1+1} \\ =\frac{1-(-1)^{n-1}}{2} \\ \therefore T_{n} = \frac{1-(-1)^{n-1}}{4}$
> と求められます。

★★
辺々を引き算して
$2$ (1+1)T_{n} = (-1)^{2}\cdot 1 + (-1)^{3}\cdot 1 + \cdots (-1)^{n}\cdot 1 - (-1)^{n+1}\cdot (n-1) \\ 2T_{n} = \displaystyle \frac{(-1)^{2}\left\{1-(-1)^{n-1}\right\}}{1+1}- (-1)^{n-1}(n-1) \\ =\frac{1-(-1)^{n-1}}{2} - (-1)^{n-1}(n-1) \\ \therefore T_{n} = \frac{1-(-1)^{n-1}}{4}-\frac{(-1)^{n+1}}{2}(n-1) \\$

> よって，求める和は
> $2$ \frac{1}{2}an(n+1)+\frac{1-(-1)^{n-1}}{4}$
> となります。
>
★★
$2$ \frac{1}{2}an(n+1)+\frac{1-(-1)^{n-1}}{4}-\frac{(-1)^{n+1}}{2}(n-1)$
これで， $2$n=2,3,\cdots$ のときも成立します。

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