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　Re[1]: 高2です。数列

□投稿者/ ウルトラマン大御所(320回)-(2007/10/04(Thu) 23:38:02)

だんでらいおんさん，こんばんわ。

> 次の数列の第ｎ項までの和Ｓnを求めよ。
> a,2a+1,3a-2,4a+3,5a-4,・・・
>
>

数列の第 $2$k$ 項を求めてみましょう。考え方としては，
第 $2$1$ 項… $2$a=1\cdot a+(-1)^{1}\cdot 0$
第 $2$2$ 項… $2$2a+1=2\cdot a+(-1)^{2}\cdot(2-1)$
第 $2$3$ 項… $2$3a-2=3\cdot a+(-1)^{3}\cdot(3-1)$
……と考えていくと
第 $2$k$ 項… $2$k\cdot a+(-1)^{k}\cdot(k-1)$
となります。

この後は，
$2$ \sum_{k=1}^{n}\left\{k\cdot a+(-1)^{k}\cdot(k-1)\right\} \\ =\sum_{k=1}^{n}a\cdot k + \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k}(k-1)$
として，

前半部分は，
$2$ \sum_{k=1}^{n}a\cdot k = a\sum_{k=1}^{n}k = \frac{1}{2}an(n+1)$
と求めます。

後半部分に関しては，
$2$ T_{n} = \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k}(k-1)$
とおくと， $2$T_{n}$ は等比数列と等差数列の積の和になっているので，
$2$ T_{n} = (-1)\cdot 0 + (-1)^{2}\cdot 1 + (-1)^{3}\cdot 2 + \cdots (-1)^{n}\cdot (n-1) \\ (-1)T_{n} = (-1)^{2}\cdot 0 + (-1)^{3}\cdot 1 +\cdots + (-1)^{n+1}\cdot (n-1)$
の辺々を引き算して
$2$ (1+1)T_{n} = (-1)^{2}\cdot 1 + (-1)^{3}\cdot 1 + \cdots (-1)^{n}\cdot 1 - (-1)^{n+1}\cdot (n-1) \\ 2T_{n} = \displaystyle \frac{(-1)^{2}\left\{1-(-1)^{n-1}\right\}}{1+1} \\ =\frac{1-(-1)^{n-1}}{2} \\ \therefore T_{n} = \frac{1-(-1)^{n-1}}{4}$
と求められます。

よって，求める和は
$2$ \frac{1}{2}an(n+1)+\frac{1-(-1)^{n-1}}{4}$
となります。

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