数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: ベクトル / Page: 0]

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■28337 / inTopicNo.1)

　ベクトル

□投稿者/ ぽち一般人(1回)-(2007/10/02(Tue) 00:51:43)

原点をＯとし、2つの定点Ａ，Ｂの位置ベクトルをそれぞれ↑a,↑bとする。
動点Ｐの位置ベクトルは(↑p-↑a)・(↑p-↑b)=↑a・↑bを満たしている。
(1)Ｐは一つの円の周上にあることを示し、その円の半径と中心の位置ベクトルを↑a・↑bを用いて表せ。
(2)|↑a|=|↑b|=2,∠ＡＯＢ=60°のとき、↑p・↑bの最大値と最小値を求めよ。

教えてください。お願いします。

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■28338 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ベクトル

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□投稿者/ X 付き人(57回)-(2007/10/02(Tue) 09:31:29)

2007/10/02(Tue) 12:04:06 編集(投稿者)

(↑p-↑a)・(↑p-↑b)=↑a・↑b (A)
とします。
(1)
(A)の左辺を展開し、整理すると
↑p・{↑p-(↑a+↑b)}=0 (B)
∴↑a+↑bを位置ベクトルとする点をQとすると
↑OP・(↑OP-↑OQ)=0
∴↑OP・↑PQ=0
∴↑OP⊥↑PQ
∴円周角により点Pは線分OQを直径とする円周上の点です。
この円の半径は
|↑OQ|/2=|↑a+↑b|/2
中心の位置ベクトルは
↑OQ/2=(↑a+↑b)/2
です。

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■28339 / inTopicNo.3)

　Re[2]: ベクトル

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□投稿者/ miyup 大御所(1511回)-(2007/10/02(Tue) 10:08:19)

■No28338に返信(Xさんの記事)
> この円の半径は
> |↑OQ|=|↑a+↑b|
|↑OQ|/2=|↑a+↑b|/2 ですね

> ↑p・↑b=↑p・(↑p-↑a)
> =|↑p-↑a|^2-|↑a|^2 (B)
=|↑p-↑a/2|^2-(|↑a|^2)/4 (B) ですね

> ∴↑p・↑bは↑p=↑aのとき最小値-|↑a|^2=-4を取ります。
点Pは円周上にあり、点Aは円周上にないので
↑p=↑a(↑p=↑a/2)にはならないと思います

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■28343 / inTopicNo.4)

　Re[1]: ベクトル

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□投稿者/ X 付き人(59回)-(2007/10/02(Tue) 12:05:29)

>>miyupさんへ
ご指摘ありがとうございます。No.28338のレスを直接修正しておきました。

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■28344 / inTopicNo.5)

　Re[1]: ベクトル

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□投稿者/ gaku 一般人(42回)-(2007/10/02(Tue) 12:12:23)

$2$\vec{p}\cdot\vec{b}=|\vec{p}|^2-\vec{p}\cdot\vec{a}$
$2$\vec{p}$ と $2$\vec{b}$ のなす角を $2$\theta$ とすると，
$2$|\vec{b}||\vec{p}|\cos \theta=|\vec{p}|^2-|\vec{a}||\vec{p}|\cos (60-\theta)$
$2$|\vec{p}|\neq 0$ のとき，
$2$2\cos \theta=|\vec{p}|-2(\frac12\cos \theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta)$
よって， $2$|\vec{p}|=\sqrt{3}\sin \theta+3\cos \theta$
$2$\vec{p}\cdot\vec{b}=2(\sqrt{3}\sin \theta+3\cos \theta)\times\cos \theta=2\sqrt{3}\sin \theta\cos \theta+6\cos ^2\theta=\sqrt{3}\sin {2\theta}+3\cos 2\theta+3=\sqrt{12}\sin (2\theta+60)+3$
とやってみました。

$2$\theta=15$ で最大。 $2$\theta=105$ で最小。

間違っていたらごめんなさい。

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■28345 / inTopicNo.6)

　Re[3]: ベクトル

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□投稿者/ miyup 大御所(1512回)-(2007/10/02(Tue) 13:03:35)

■No28339に返信(miyupさんの記事)
↑p・↑b
=|↑p-↑a/2|^2-(|↑a|^2)/4
=|↑p-↑a/2|^2-1　…　|↑a|=2 より
OAの中点をMとおくと
|↑p-↑a/2|=MP より、MP最大(最小)⇔↑p・↑b最大(最小)
Mを通る円の直径を引くと、直径の両端にPがくるとき、MP最大(最小)となります。

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