数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 面積について / Page: 0]

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■28203 / inTopicNo.1)

　面積について

□投稿者/ たなか[高２] 一般人(1回)-(2007/09/25(Tue) 20:51:32)

2007/09/25(Tue) 20:54:08 編集(投稿者)
2007/09/25(Tue) 20:53:28 編集(投稿者)

はじめまして。
早速ですが質問です。
以下のパラドックスの原因が解明できません。。

0≦x≦1で、f(x)≧0を満たす関数f(x)について、f(x),x軸,y軸,x=1で囲まれた範囲の面積Sは、
$2$S:=\displaystyle\int_0^1 {f\left( x \right)dx}= \lim\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{n}f \left( \frac{k}{n} \right)$

と定義できますが（多分あってると思います）、
a≠b,b→a として、y=b,x軸,y軸,x=1で囲まれた範囲の面積Sを考えれば、
明らかにS=b

ところで、上の定義に従えば、
$2$S=\lim\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{n} \left( b \right)$ で、これは
$2$n\to\infty$ について、

$2$\sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{n} \left( b \right) \to b$ が成り立つことを示している。
ここで、b→aなので、
$2$\sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{n} \left( b \right) \to b \to a$
$2$\sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{n} \left( b \right) \to a$

つまり、
$2$n\to\infty$ について、
$2$\sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{n} \left( b \right) \to a$ が成り立つことを示している。

よって
$2$S=\lim\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{n} \left( b \right)=a$
ゆえに、 $2$S=b=a$

これは仮定a≠bに反する。

いったいどこがおかしいのでしょうか。。

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■28206 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 面積について

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(1497回)-(2007/09/25(Tue) 22:37:32)

S＝b で lim[b→a]S＝a ですね。
S＝a ではありません。

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■28214 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 面積について

▲▼■

□投稿者/ たなか[高２] 一般人(2回)-(2007/09/26(Wed) 07:46:25)

自分もそうは思うのですが、なぜ

>ここで、b→aなので、
> $2$\sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{n} \left( b \right) \to b \to a$
> $2$\sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{n} \left( b \right) \to a$

>つまり、
> $2$n\to\infty$ について、
> $2$\sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{n} \left( b \right) \to a$ が成り立つことを>示している。

>よって
$2$S=\lim\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{n} \left( b \right)=a$

が成り立たないのかがよくわかりません。
理論的な説明があれば、どうかご指摘お願いします。。

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■28215 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 面積について

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□投稿者/ miyup 大御所(1501回)-(2007/09/26(Wed) 08:08:44)

■No28214に返信(たなか[高２]さんの記事)
> >ここで、b→aなので、
> > $2$\sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{n} \left( b \right) \to b \to a$
> > $2$\sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{n} \left( b \right) \to a$

S＝lim[n→∞]Σ[k=1,n]b/n＝b…①
lim[b→a]S＝lim[b→a]{lim[n→∞]Σ[k=1,n]b/n}＝a…②

そもそもなぜここで b→a とするのですか？
①の計算途中で①とは無関係な②の計算に迷い込んでますね。

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■28236 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 面積について

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□投稿者/ たなか[高2] 一般人(1回)-(2007/09/27(Thu) 05:50:00)

自分の問題点が見えてきました。

>ここで、b→aなので、
> $2$\sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{n} \left( b \right) \to b \to a$
> $2$\sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{n} \left( b \right) \to a$

>つまり、
> $2$n\to\infty$ について、
> $2$\sum\limits_{k = 1}^n \frac{1}{n} \left( b \right) \to a$ が成り立つことを示している。

どうしてこのようにしてはいけないのかがよくわかりません。

>そもそもなぜここで b→a とするのですか？
仮定条件でb→aが出されている限り、ここでb→aを使ってはいけない理由はないと思うのですが。。

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