 | 2007/09/15(Sat) 10:00:19 編集(投稿者)
2007/09/15(Sat) 09:40:44 編集(投稿者)
＞＞この回転体の側面積を求めるのにﾊﾟｯﾌﾟｽｷﾞｭﾙﾀﾞﾝの定理を用いた考え方はできないのでしょうか。
回転体の体積を求める際に回転させる図形の面積の代わりに曲線の長さを使えば、回転体の側面積となります(証明は省きます)。
が、曲線の重心の位置を求めるのに手間がかかります。
今、xy平面上に原点中心で半径R、中心角α(0<α<π/2)の円弧を
x座標が正となる位置にx軸に関して対称になるように取ります。
(図を描いて考えてみて下さい。)
つまり円弧の端点の座標は
(Rcos(α/2),-Rsin(α/2)),(Rcos(α/2),Rsin(α/2))
このとき円弧の線密度をρ、質量をMとすると
M=ρRα (B)
又、同一平面上に極座標を考えると、円弧の微小線分の質量dmは
dm=ρRdθ (C)
更に重心の座標を(xg,yg)と置くと
xg=(1/M)∫xdm (D)
yg=(1/M)∫ydm (E)
(積分は質量のある経路で行う)
x=Rcosθ (F)
y=Rsinθ (G)
(B)(C)(D)(E)(F)(G)より
xg=(1/ρRα)∫[θ:-α/2→α/2](Rcosθ)ρRdθ
yg=(1/ρRα)∫[θ:-α/2→α/2](Rsinθ)ρRdθ
これを計算すると
(xg,yg)=((2R/α)sin(α/2),0)
この計算結果を質問されている問題に適用します。
上記の計算結果から、円弧の重心は
円弧の対称軸上で
円弧の中心から円弧側に(2R/arcsin(L/R))sin((1/2)arcsin(L/R))の距離
にあることが分かりますので、
そのy座標、つまり重心が描く円の半径(pとします)は
p=(R+r)+(2R/arcsin(L/R))sin((1/2)arcsin(L/R))sin(-π/2+(1/2)arcsin(L/R))
=(R+r)-(2R/arcsin(L/R))sin((1/2)arcsin(L/R))cos((1/2)arcsin(L/R))
=(R+r)-{R/arcsin(L/R)}sin(arcsin(L/R))
=(R+r)-L/arcsin(L/R)
一方、円弧の長さをqとすると
q=Rarcsin(L/R)
よって、求める表面積Sは
S=(2πp)q
=2π{Rarcsin(L/R)}{(R+r)-L/arcsin(L/R)}
=2πR{(R+r)arcsin(L/R)-L}
これはNo.27957のレスの(A)と一致しています。
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