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■27927 / inTopicNo.1)

　わかりません・・・

□投稿者/ 花月一般人(1回)-(2007/09/13(Thu) 19:45:36)

１）ｆ（ｘ）＝e^２－∫（０～１）ｔｆ（ｔ）ｄｔ
この等式を満たす、関数ｆ（ｘ）を求めよ。
２）次の等式を満たす関数ｆ（ｘ）と正の定数aの値を求めよ。
ｆ（ｘ）の定義域はｘ＞０
∫（a～ｘ^２）ｆ（ｔ）ｄｔ＝logx

この二つがよく分からないのですが、どなたかお願いします。

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■27949 / inTopicNo.2)

　Re[1]: わかりません・・・

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□投稿者/ gaku 一般人(27回)-(2007/09/13(Thu) 23:22:26)

■No27927に返信(花月さんの記事)
> １）ｆ（ｘ）＝e^２－∫（０～１）ｔｆ（ｔ）ｄｔ
> この等式を満たす、関数ｆ（ｘ）を求めよ。
> ２）次の等式を満たす関数ｆ（ｘ）と正の定数aの値を求めよ。
> ｆ（ｘ）の定義域はｘ＞０
> ∫（a～ｘ^２）ｆ（ｔ）ｄｔ＝logx
>
> この二つがよく分からないのですが、どなたかお願いします。
>
>
(1)f(x)=e^x-∫(0～1)tf(t)dtではないでしょうか。

$2$\displaystyle\int_0^1tf(t)dt$ は定数だから， $2$f(x)=e^x-a$ とおける。

$2$\displaystyle\int_0^1t(e^t-a)=\displaystyle\int_0^1te^tdt-\displaystyle\int_0^1atdt=[te^t]_0^1-\displaystyle\int_0^1e^tdt-[\frac{a}{2}t^2]_0^1=e-(e-1)+\frac{a}{2}=\frac{a}{2}+1$
$2$\frac{a}{2}+1=a$ だから， $2$a=2$ とわかり， $2$f(x)=e^x-2$

途中は部分積分法
(2)
$2$\displaystyle\int_a^{x^2}f(t)dt=\log {x}$
両辺を $2$x$ で微分すると，
$2$2xf(x)=\frac{1}{x}$
よって， $2$f(x)=\frac{1}{2x^2}$

途中は合成関数の微分

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■28021 / inTopicNo.3)

　Re[2]: わかりません・・・

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□投稿者/ うまさ百万石一般人(12回)-(2007/09/15(Sat) 18:11:04)

gakuさんへ

解答が出たら、検算はきちんとしておいた方がいいかと思います。

花月さんへ

私の方も、(1)の問題については、gakuさんと同様に、
f(x)＝e^x－∫(0～1){t･f(t)}dtと考えて解答しておきます。

添付の画像ファイルを確認して下さい。

800×560 => 250×175

20070915.jpg/76KB

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