 | 2007/08/29(Wed) 22:47:54 編集(投稿者)
2007/08/29(Wed) 21:50:04 編集(投稿者)
■No27594に返信(クゥ〜さんの記事)
> xy平面上の円周 x^2＋y^2=1 の接線Lに、定点Ｐ(ｐ,0)、Ｑ(−ｑ，0) (1<ｑ<ｐ)
> から引いた垂線の足をそれぞれＲ，Ｓとする。
> (1) ＰＲ^2＋ＱＳ^2 の最小値を求めよ。
円周上の点を(a,b)とおく。-1≦a,b≦1、a^2+b^2＝0。
点(a,b)における円の接線の式は ax+by-1＝0。
点と直線の距離公式より
PR＝|pa-1|/√(a^2+b^2)＝|pa-1|、QS＝|-qa-1|/√(a^2+b^2)＝|qa+1|
ここで
PR^2+QS^2＝(p^2+q^2)a^2-2(p-q)a+2＝(p^2+q^2){a-(p-q)/(p^2+q^2)}^2+(p+q)^2/(p^2+q^2) ：下に凸の放物線
0＜(p-q)/(p^2+q^2)＜1 より
-1≦a≦1 における PR^2+QS^2 の最小値は (p+q)^2/(p^2+q^2)。
> (2) ＰＲ+ＱＳを最小にする接線Lを求めよ。
PR+QS＝|pa-1|+|qa+1|
(-1≦)a≦-1/q のとき ＝-(pa-1)-(qa+1)＝-(p+q)a ←減少
-1/q≦a≦1/p のとき ＝-(pa-1)+(qa+1)＝-(p-q)a+2 ←減少
1/p≦a(≦1) のとき ＝(pa-1)+(qa+1)＝(p+q)a ←増加 ：折れ線グラフ
よって -1≦a≦1 における最小値は a＝1/p のときで
b^2＝1-a^2＝1-(1/p)^2 より
接線の式は
(1/p)x±(√{1-(1/p)^2})y＝1。
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