| 2007/08/29(Wed) 22:47:54 編集(投稿者) 2007/08/29(Wed) 21:50:04 編集(投稿者)
■No27594に返信(クゥ〜さんの記事) > xy平面上の円周 x^2+y^2=1 の接線Lに、定点P(p,0)、Q(−q,0) (1<q<p) > から引いた垂線の足をそれぞれR,Sとする。 > (1) PR^2+QS^2 の最小値を求めよ。 円周上の点を(a,b)とおく。-1≦a,b≦1、a^2+b^2=0。 点(a,b)における円の接線の式は ax+by-1=0。 点と直線の距離公式より PR=|pa-1|/√(a^2+b^2)=|pa-1|、QS=|-qa-1|/√(a^2+b^2)=|qa+1| ここで PR^2+QS^2=(p^2+q^2)a^2-2(p-q)a+2=(p^2+q^2){a-(p-q)/(p^2+q^2)}^2+(p+q)^2/(p^2+q^2) :下に凸の放物線 0<(p-q)/(p^2+q^2)<1 より -1≦a≦1 における PR^2+QS^2 の最小値は (p+q)^2/(p^2+q^2)。 > (2) PR+QSを最小にする接線Lを求めよ。 PR+QS=|pa-1|+|qa+1| (-1≦)a≦-1/q のとき =-(pa-1)-(qa+1)=-(p+q)a ←減少 -1/q≦a≦1/p のとき =-(pa-1)+(qa+1)=-(p-q)a+2 ←減少 1/p≦a(≦1) のとき =(pa-1)+(qa+1)=(p+q)a ←増加 :折れ線グラフ よって -1≦a≦1 における最小値は a=1/p のときで b^2=1-a^2=1-(1/p)^2 より 接線の式は (1/p)x±(√{1-(1/p)^2})y=1。
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