数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 高１・２次方程式の問題 / Page: 0]

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■2746 / inTopicNo.1)

　高１・２次方程式の問題

□投稿者/ たま一般人(3回)-(2005/08/10(Wed) 19:04:15)

夏休みの宿題は難しくて参ってます。分かる人教えてください。
ｘについての２次方程式（a-1)x^-(a^-a+1)x+a=0…①がある。
方程式①が重解をもつときaの値は？

実は答えは分かっていて、１±√５ / ２なんですけど、
解きかたがまったくわかんないんです（；_；）

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■2747 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 高１・２次方程式の問題

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□投稿者/ ＫＧ付き人(83回)-(2005/08/10(Wed) 19:21:34)

2005/08/10(Wed) 19:22:12 編集(投稿者)

まずは，当然，(判別式)＝０です．すると，
　　(ａ^2－ａ＋１)^2－４ａ(ａ－１)＝０
展開して整理すると，
　　ａ^4－２ａ^3－ａ^2＋２ａ＋１＝０
この方程式を，「相反方程式」と言います．独特の解法があります．
まず，ａ＝０を代入してもこの方程式は成り立ちません．したがって，ａ≠０です．
そこで，両辺をａ^2 で割ります．すると，
　　ａ^2－２ａ－１＋２/ａ＋１/ａ^2＝０　…(※)
となり，ここで，
　　ｔ＝ａ－１/ａ
とおきます．このとき，
　　ｔ^2＝(ａ－１/ａ)^2
から，
　　ａ^2＋１/ａ^2＝ｔ^2＋２
を得るので，(※) に代入して，
　　(ｔ^2＋２)－２ｔ－１＝０
　　ｔ^2－２ｔ＋１＝０
　　(ｔ－１)^2＝０
　　∴ ｔ＝１
よって，
　　ａ－１/ａ＝１
　　ａ^2－１＝ａ
　　ａ^2－ａ－１＝０
　　∴ ａ＝(１±√５)/２

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■2748 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 高１・２次方程式の問題

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□投稿者/ moomin 一般人(13回)-(2005/08/10(Wed) 19:25:04)
http://user.ecc.u-tokyo.ac.jp/~g441069/HP/

■No2746に返信(たまさんの記事)

判別式については知っていますか？

二次方程式ax^2＋bx^＋c＝０・・・①

が重解を持つ条件を一般に与える式です。

①の左辺を因数分解して

(x-α)(x-β)・・・②

が得られたとします。
このとき
「上式が重解を持つ」⇔「(αーβ)^2＝０」・・・③
ですが②からさらにα＋β＝b,αβ＝c/a ですから

③⇔「b^2－4ac＝０」となるわけです。

すなわち「二次方程式が重解を持つかどうか」は「係数を見ればわかる」
ということです。問題の方程式にこのことを応用してみてください。

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■2749 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 高１・２次方程式の問題

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□投稿者/ たま一般人(4回)-(2005/08/10(Wed) 20:22:26)

こんな解きかたがあったんですね。よく分かりました。
ありがとうございます!!

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■2754 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 高１・２次方程式の問題

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□投稿者/ 豆ベテラン(232回)-(2005/08/10(Wed) 23:16:42)

2005/08/10(Wed) 23:26:26 編集(投稿者)

4次方程式の解法に明るくなくても、以下のやり方で今回の場合は大丈夫です。
判別式D=(a^2-a+1)^2-4a(a-1)=(t+1)^2-4t　　(a^2-a=tとおく)
=t^2-2t+1=(t-1)^2=0
a^2-a-1=0　　∴a=(1±√5)/2

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■2756 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 高１・２次方程式の問題

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□投稿者/ ＫＧ付き人(85回)-(2005/08/11(Thu) 06:34:10)

■No2754に返信(豆さんの記事)
> 4次方程式の解法に明るくなくても、以下のやり方で今回の場合は大丈夫です。
　その通りでした．

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