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■2746
/ inTopicNo.1)
高1・2次方程式の問題
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□投稿者/ たま
一般人(3回)-(2005/08/10(Wed) 19:04:15)
夏休みの宿題は難しくて参ってます。分かる人教えてください。
xについての2次方程式(a-1)x^-(a^-a+1)x+a=0…@がある。
方程式@が重解をもつときaの値は?
実は答えは分かっていて、1±√5 / 2なんですけど、
解きかたがまったくわかんないんです(;_;)
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■2747
/ inTopicNo.2)
Re[1]: 高1・2次方程式の問題
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□投稿者/ KG
付き人(83回)-(2005/08/10(Wed) 19:21:34)
2005/08/10(Wed) 19:22:12 編集(投稿者)
まずは,当然,(判別式)=0 です.すると,
(a^2−a+1)^2−4a(a−1)=0
展開して整理すると,
a^4−2a^3−a^2+2a+1=0
この方程式を,「相反方程式」と言います.独特の解法があります.
まず,a=0 を代入してもこの方程式は成り立ちません.したがって,a≠0 です.
そこで,両辺をa^2 で割ります.すると,
a^2−2a−1+2/a+1/a^2=0 …(※)
となり,ここで,
t=a−1/a
とおきます.このとき,
t^2=(a−1/a)^2
から,
a^2+1/a^2=t^2+2
を得るので,(※) に代入して,
(t^2+2)−2t−1=0
t^2−2t+1=0
(t−1)^2=0
∴ t=1
よって,
a−1/a=1
a^2−1=a
a^2−a−1=0
∴ a=(1±√5)/2
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■2748
/ inTopicNo.3)
Re[1]: 高1・2次方程式の問題
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□投稿者/ moomin
一般人(13回)-(2005/08/10(Wed) 19:25:04)
http://user.ecc.u-tokyo.ac.jp/~g441069/HP/
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No2746
に返信(たまさんの記事)
判別式については知っていますか?
二次方程式ax^2+bx^+c=0・・・@
が重解を持つ条件を一般に与える式です。
@の左辺を因数分解して
(x-α)(x-β)・・・A
が得られたとします。
このとき
「上式が重解を持つ」⇔「(αーβ)^2=0」・・・B
ですがAからさらにα+β=b,αβ=c/a ですから
B⇔「b^2−4ac=0」となるわけです。
すなわち「二次方程式が重解を持つかどうか」は「係数を見ればわかる」
ということです。問題の方程式にこのことを応用してみてください。
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■2749
/ inTopicNo.4)
Re[2]: 高1・2次方程式の問題
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□投稿者/ たま
一般人(4回)-(2005/08/10(Wed) 20:22:26)
こんな解きかたがあったんですね。よく分かりました。
ありがとうございます!!
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■2754
/ inTopicNo.5)
Re[3]: 高1・2次方程式の問題
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□投稿者/ 豆
ベテラン(232回)-(2005/08/10(Wed) 23:16:42)
2005/08/10(Wed) 23:26:26 編集(投稿者)
4次方程式の解法に明るくなくても、以下のやり方で今回の場合は大丈夫です。
判別式D=(a^2-a+1)^2-4a(a-1)=(t+1)^2-4t (a^2-a=tとおく)
=t^2-2t+1=(t-1)^2=0
a^2-a-1=0 ∴a=(1±√5)/2
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■2756
/ inTopicNo.6)
Re[4]: 高1・2次方程式の問題
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□投稿者/ KG
付き人(85回)-(2005/08/11(Thu) 06:34:10)
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No2754
に返信(豆さんの記事)
> 4次方程式の解法に明るくなくても、以下のやり方で今回の場合は大丈夫です。
その通りでした.
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