数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 極限の基本 / Page: 0]

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■25873 / inTopicNo.1)

　極限の基本

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□投稿者/ 高校３年一般人(1回)-(2007/06/22(Fri) 20:40:15)

lim[x→∞]tanx/x
この極限はないって授業でいわれたんですが，よくわかりませんでした．
lim[x→∞]sinx/x
なら，はさみうちができるんですけど．tanxは無理でした．
よろしくお願いします．

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■25908 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 極限の基本

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□投稿者/ miyup 大御所(1256回)-(2007/06/23(Sat) 21:14:59)

■No25873に返信(高校３年さんの記事)
> lim[x→∞]tanx/x
> この極限はないって授業でいわれたんですが，よくわかりませんでした．

グラフを考えれば、tanx 自体が不連続なので x→∞ は無意味です。

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■25909 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 極限の基本

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□投稿者/ らすかる大御所(744回)-(2007/06/23(Sat) 21:20:34)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

「不連続」⇒「x→∞ は無意味」とは言えないのでは？

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■25910 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 極限の基本

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□投稿者/ miyup 大御所(1257回)-(2007/06/23(Sat) 21:30:01)

■No25909に返信(らすかるさんの記事)
> 「不連続」⇒「x→∞ は無意味」とは言えないのでは？
tanx は不連続な周期関数ですから x→∞ という行為自体が無意味でしょう。

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■25914 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 極限の基本

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□投稿者/ らすかる大御所(746回)-(2007/06/23(Sat) 22:05:00)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

x→∞ は「定義域上で無限に大きくする」と解釈すれば良いと
思っていましたが、一般的には、関数の極限は(a,∞)で定義される場合しか
定義されていないようですね。
その意味で「不連続な周期関数」⇒「x→∞は無意味」は納得しました。

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■25919 / inTopicNo.6)

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□投稿者/ soredeha 一般人(1回)-(2007/06/24(Sun) 00:11:02)

「不連続なので x→∞ は無意味」
と考えるなら、数列の極限を考えることも無意味になります。

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■25921 / inTopicNo.7)

　Re[2]: Re

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□投稿者/ らすかる大御所(748回)-(2007/06/24(Sun) 00:33:04)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

＞soredehaさん
私もそう思っていたのですが、調べたら（私が調べた範囲内では）
「数列の極限」と「関数の極限」は別々に定義されていました。

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■25926 / inTopicNo.8)

　Re[1]: 極限の基本

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□投稿者/ けにい軍団(140回)-(2007/06/24(Sun) 03:22:15)

まず、二命題

(1) lim[x→∞] f(x) = a
(2) 任意の lim[n→∞] x[n] = ∞ なる数列 (x[n]) に対して lim[n→∞] f(x[n]) = a

が同値であることに注意しましょう(高校の範囲では証明不能)。いま、数列 x[n] = πn と
y[n] = πn + arctan(n) を考えると、n → ∞ のとき、共に x[n] → ∞, y[n] → ∞
となります。ここに arctan は tan の逆関数であり、tan(arctan(x)) = x および
-π/2 < arctan(x) < π/2 が成り立ちます。いま n → ∞ のとき f(x[n]) → 0
である一方

n/(πn + π/2) < f(y[n]) < n/(πn - π/2)
⇒ f(y[n]) → 1/π

であることから、lim[x→∞] f(x) は存在しないことがわかります。

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■26034 / inTopicNo.9)

　Re[2]: 極限の基本

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□投稿者/ 高校３年一般人(4回)-(2007/06/27(Wed) 19:13:35)

■No25926に返信(けにいさんの記事)
> まず、二命題
>
> (1) lim[x→∞] f(x) = a
> (2) 任意の lim[n→∞] x[n] = ∞ なる数列 (x[n]) に対して lim[n→∞] f(x[n]) = a
>
> が同値であることに注意しましょう(高校の範囲では証明不能)。

ということを教えていただいたので，π/2 のちょっと前で考えるために，
　x=(π/4)+nπのときと，x=(π/2)+nπ-(1/n^2)で分ければできました．

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