□投稿者/ けにい 軍団(140回)-(2007/06/24(Sun) 03:22:15)
 | まず、二命題
(1) lim[x→∞] f(x) = a
(2) 任意の lim[n→∞] x[n] = ∞ なる数列 (x[n]) に対して lim[n→∞] f(x[n]) = a
が同値であることに注意しましょう(高校の範囲では証明不能)。いま、数列 x[n] = πn と
y[n] = πn + arctan(n) を考えると、n → ∞ のとき、共に x[n] → ∞, y[n] → ∞
となります。ここに arctan は tan の逆関数であり、tan(arctan(x)) = x および
-π/2 < arctan(x) < π/2 が成り立ちます。いま n → ∞ のとき f(x[n]) → 0
である一方
n/(πn + π/2) < f(y[n]) < n/(πn - π/2)
⇒ f(y[n]) → 1/π
であることから、lim[x→∞] f(x) は存在しないことがわかります。
|
|