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■25716 / inTopicNo.1)

　複素平面上の問題（複素数）

□投稿者/ CERMET 一般人(1回)-(2007/06/17(Sun) 15:31:58)

+ax+b=0の解をα,βとする。
複素平面において３点１,α,βが原点を中心とする円に内接する正三角形の頂点になるような、定数a,bを求めよ。

自分で考えは、α=A+Bi,β=C+Diとおき、正三角形の座標を(1,0),(A,B),(C,D)とおいてA,B,C,Dをだす、というものなのですが、肝心のA,B,C,Dの求め方が分かりません。
解決のヒントなどありましたらお願いします。

ちなみに、これの外接の問題もあるのですが考え方は同じなんでしょうか？

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■25718 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 複素平面上の問題（複素数）

▲▼■

□投稿者/ B'z 一般人(1回)-(2007/06/17(Sun) 15:59:57)

In[45]:=Factor[z^3 - 1]
Out[45]=(-1 + z)*(1 + z + z^2)
から　判明。

ついでに　正n角形に；
In[44]:=Table[Factor[z^n - 1], {n, 3, 7}]

Out[44]={(-1 + z)*(1 + z + z^2), (-1 + z)*(1 + z)*
(1 + z^2), (-1 + z)*(1 + z + z^2 + z^3 +
z^4), (-1 + z)*(1 + z)*(1 - z + z^2)*
(1 + z + z^2), (-1 + z)*(1 + z + z^2 +
z^3 + z^4 + z^5 + z^6)}
　　　　　　　の　零点　達　の　分布
http://www.youtube.com/watch?v=p8nicTh38oU
<---------------------- 零

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■25720 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 複素平面上の問題（複素数）

▲▼■

□投稿者/ B'z 一般人(2回)-(2007/06/17(Sun) 16:11:10)

■No25716に返信(CERMETさんの記事)
>
> 自分で考えは、α=A+Bi,β=C+Diとおき、正三角形の座標を(1,0),(A,B),(C,D)とおいてA,B,C,Dをだす、というものなのですが、肝心のA,B,C,Dの求め方が分かりません。
>
　　　　　あなたの方針に従うと；
In[46]:=
Solve[A + B*I + (A - B*I) + 1 == 0, {A, B}]

Out[46]=
{{A -> -(1/2)}}

In[49]:=
A + B*I /. {A -> -(1/2)}

Out[49]=
-(1/2) + I*B

In[52]:=
Expand[(-(1/2) + I*B)*(-(1/2) - I*B)]

Out[52]=
1/4 + B^2

In[53]:=
Solve[% == 1, B]

Out[53]=
{{B -> -(Sqrt[3]/2)}, {B -> Sqrt[3]/2}}

で A+B*i達が出ます

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■25722 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 複素平面上の問題（複素数）

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(1237回)-(2007/06/17(Sun) 17:11:12)

■No25716に返信(CERMETさんの記事)
> $2$x^2+ax+b=0$ の解をα,βとする。
> 複素平面において３点１,α,βが原点を中心とする円に内接する正三角形の頂点になるような、定数a,bを求めよ。
>
> 自分で考えは、α=A+Bi,β=C+Diとおき、正三角形の座標を(1,0),(A,B),(C,D)とおいてA,B,C,Dをだす、というものなのですが、肝心のA,B,C,Dの求め方が分かりません。

むしろ先に図を描いた方がいいと思います。
そうすればすぐに、α,βが $2$\frac12\pm\frac{\sqrt3}{2}$ になることがわかります。

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■25725 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 複素平面上の問題（複素数）

▲▼■

□投稿者/ B'z 一般人(4回)-(2007/06/17(Sun) 17:33:49)

■No25716に返信(CERMETさんの記事)
>定数a,bを求めよ。
>
> 自分で考えは、α=A+Bi,β=C+Diとおき、

以下の手法も；
In[10]:=ComplexExpand[(A + B*I)^2]

Out[10]=A^2 + 2*I*A*B - B^2

In[11]:=
sol = Solve[{A^2 - B^2 == A, 2*A*B == -B},
{A, B}];
{A, B} /. sol[[3]]
{A, B} /. sol[[4]]

Out[12]=
{-(1/2), -(Sqrt[3]/2)}

Out[13]=
{-(1/2), Sqrt[3]/2}
<----あなたの　方針による　コタエ。

In[16]:=Expand[(x - (-(1/2) + I*-(Sqrt[3]/2)))*
(x - (-(1/2) + I*Sqrt[3]/2))]

Out[16]=1 + x + x^2<----答。

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■25742 / inTopicNo.6)

　Re[2]: 複素平面上の問題（複素数）

▲▼■

□投稿者/ CERMET 一般人(2回)-(2007/06/17(Sun) 22:13:44)

図を描いたら分かりましたが、式でそれを求められるでしょうか？
できない場合は、他のやり方があるということになると思いますが、自分は思いつきません。

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■25744 / inTopicNo.7)

　Re[3]: 複素平面上の問題（複素数）

▲▼■

□投稿者/ B'z 一般人(5回)-(2007/06/17(Sun) 22:51:51)

■No25742に返信(CERMETさんの記事)
> 図を描いたら分かりましたが、式でそれを

　　　もう　■　何通りかの手法で解いています　■

さらに　(1,0)を通る巡回群の軌道　の　視座　から；
In[8]:=
Expand[Table[(-(1/2) + (I*Sqrt[3])/2)^n,
{n, 0, 2}]]

Out[8]=
{1, -(1/2) + (I*Sqrt[3])/2, -(1/2) - (I*Sqrt[3])/2}
　　　　　<----------------- が　頂点達の座標　

　　　　ついでに　正５角形のとき
(1,0)を通る巡回群の軌道　の　視座　から；
In[10]:=
Expand[Table[(-(1/4) - Sqrt[5]/4 +
1/2*I*Sqrt[1/2*(5 - Sqrt[5])])^n,
{n, 0, 4}]]

Out[10]=
{1,　 -(1/4) - Sqrt[5]/4 + 1/2*I*Sqrt[1/2*(5 - Sqrt[5])],

-(1/4) + Sqrt[5]/4 - 1/4*I*Sqrt[1/2*(5 - Sqrt[5])] -
1/4*I*Sqrt[5/2*(5 - Sqrt[5])],

-(1/4) + Sqrt[5]/4 + 1/4*I*Sqrt[1/2*(5 - Sqrt[5])] +
1/4*I*Sqrt[5/2*(5 - Sqrt[5])],

-(1/4) - Sqrt[5]/4 - 1/2*I*Sqrt[1/2*(5 - Sqrt[5])]}
　　　　<----------------- が　頂点達の座標　

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■25747 / inTopicNo.8)

　Re[3]: 複素平面上の問題（複素数）

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(1244回)-(2007/06/17(Sun) 23:29:50)

■No25742に返信(CERMETさんの記事)
> 図を描いたら分かりましたが、式でそれを求められるでしょうか？
> できない場合は、他のやり方があるということになると思いますが、自分は思いつきません。
旧課程の複素数平面でなら計算だけでできます。
複素数平面における原点中心のθ°回転は、複素数に cosθ+i sinθを乗ずることで行えます。
正三角形の場合、点１を120°回転させると点αになるので、
α＝1・(cos120°+i sin120°)＝1/2 + √3/2 i
同じように、点１を-120°回転させると点βになるので、
β＝1・{cos(-120°)+i sin(-120°)}＝1/2 - √3/2 i
となります。

xy座標で考えるなら、点α,βはあきらかにx軸対称ですから
点α,βを点(p, q),(p,-q) (ただし p^2+q^2=1) すなわち
α＝p+qi, β＝p-qi とおいてやるでしょうか。

しかし図を描けば簡単にわかるので、わざわざ他のやり方でやる必然性はないと思います。

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■25755 / inTopicNo.9)

　Re[2]: 複素平面上の問題（複素数）

▲▼■

□投稿者/ CERMET 一般人(3回)-(2007/06/18(Mon) 18:04:12)

なんとか分かりました。
ありがとうございました。

解決済み!

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