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■25612 / inTopicNo.1) 　微分
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□投稿者/ 田中 一般人(1回)-(2007/06/12(Tue) 15:02:46)
    0=<x<=2を満たすすべてのxに対して不等式x~3-3ax~2+2a~2=>0がなりたつaの値の範囲をもとめよ。

    この問題での解答を教えて欲しいのですがよろしくお願いします。

    (携帯)
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■25618 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 微分
□投稿者/ X 大御所(286回)-(2007/06/12(Tue) 17:32:08)
    2007/06/14(Thu) 09:54:29 編集(投稿者)

    f(x)=x^3-3ax^2+2a^2
    と置くと
    f'(x)=3x^2-6ax=3x(x-2a) (A)
    ここで
    f(0)=2a^2≧0 (B)
    に注意して

    (i)a≦0のとき
    (A)より
    0≦x≦2においてf'(x)≧0
    ∴(B)から
    0≦xにおいてf(x)≧0
    となり題意を満たします。

    (ii)0<aのとき
    f(x)は
    x=0において極大値(B)
    x=2a>0において極小値f(2a)=-4a^3+2a^2=-(2a^2)(2a-1)
    を持ちますので,x=2aが
    0≦x≦2
    に含まれるかで更に場合分けします。
    (I)0≦2a≦2、つまり0≦a≦1のとき
    f(2a)≧0
    ですので
    -(2a^2)(2a-1)≧0
    ∴a≦1/2
    これと
    0≦a≦1
    との共通領域を取って
    0≦a≦1/2

    (II)2<2a、つまり1<aのとき
    f(2)≧0
    ですので…((I)と同様に計算してみましょう)。
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■25625 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 微分
□投稿者/ 田中 一般人(2回)-(2007/06/12(Tue) 23:38:49)
    回答ありがとうございます。
    えっと
    (ii)0<aのとき
    f(x)はx=0において極大値(B)
    x=2a>0において極小値f(2a)=-4a^3+2a^2=-(2a^2)(2a-1)

    とありますが、x=0のとき極小値をとって命題を満たすこともあるような気がするんですが、どうなんでしょうか？

    できればですので・・・。の部分も書いていただけるとありがたいです。

    よろしくお願いします。
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■25631 / inTopicNo.4) 　Re[3]: 微分
□投稿者/ X 大御所(287回)-(2007/06/13(Wed) 09:16:44)
    >>x=0のとき極小値をとって命題を満たすこともあるような気がするんですが、どうなんでしょうか？

    f(0)-f(2a)=2a^2-{-(2a^2)(2a-1)}
    =4a^3
    ∴a>0においてf(0)-f(2a)>0、つまりf(0)>f(2a)
    ∴a>0においてf(0)が極小値になることはありえません。
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■25652 / inTopicNo.5) 　Re[4]: 微分
□投稿者/ 田中 一般人(3回)-(2007/06/13(Wed) 21:04:30)
    返答ありがとうございます。
    f(0)が最小値にならないことはわかったのですが、ではf(2a)＝-3a^3＋2a^2より
    これが0より小さくなることはあるのですか？あった場合命題を満たさない可能性もある気がするのですが。どうでしょうか・・


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■25662 / inTopicNo.6) 　Re[5]: 微分
□投稿者/ X 大御所(295回)-(2007/06/14(Thu) 09:52:24)
    2007/06/14(Thu) 11:15:59 編集(投稿者)
    2007/06/14(Thu) 11:13:48 編集(投稿者)

    No.25618のレスの(I)(II)を少し書き直しておきましたのでご覧になってから以下を
    ご覧下さい。


    f(2a)<0 (A)
    を解くと
    1/2<a (B)
    これはNo.25618のレスの
    (I)0≦a≦1のとき
    と共通領域がありますが、この場合は極小点(2a,f(2a))が定義域である
    0≦x≦1
    に含まれていますので
    1/2<a≦1
    は題意を満たしません。
    又
    (II)1<aのとき
    は(B)に全て含まれていますが、この場合は
    極小点(2a,f(2a))が定義域である
    0≦x≦1
    の範囲外右側に存在しますので、f(2a)の正負で題意を満たすかどうかは決まりません。
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■25810 / inTopicNo.7) 　Re[6]: 微分
□投稿者/ 田中 一般人(4回)-(2007/06/20(Wed) 20:33:52)
    ご返答遅れて申し訳ありません。
    納得できました！ありがとうございます。
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