□投稿者/ X 大御所(286回)-(2007/06/12(Tue) 17:32:08)
 | 2007/06/14(Thu) 09:54:29 編集(投稿者)
f(x)=x^3-3ax^2+2a^2
と置くと
f'(x)=3x^2-6ax=3x(x-2a) (A)
ここで
f(0)=2a^2≧0 (B)
に注意して
(i)a≦0のとき
(A)より
0≦x≦2においてf'(x)≧0
∴(B)から
0≦xにおいてf(x)≧0
となり題意を満たします。
(ii)0<aのとき
f(x)は
x=0において極大値(B)
x=2a>0において極小値f(2a)=-4a^3+2a^2=-(2a^2)(2a-1)
を持ちますので,x=2aが
0≦x≦2
に含まれるかで更に場合分けします。
(I)0≦2a≦2、つまり0≦a≦1のとき
f(2a)≧0
ですので
-(2a^2)(2a-1)≧0
∴a≦1/2
これと
0≦a≦1
との共通領域を取って
0≦a≦1/2
(II)2<2a、つまり1<aのとき
f(2)≧0
ですので…((I)と同様に計算してみましょう)。
|
|