数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 二項定理 / Page: 0]

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■25600 / inTopicNo.1)

　二項定理

□投稿者/ detour 一般人(48回)-(2007/06/11(Mon) 22:06:42)

問題
nを正の整数とする。2^n1は15で割り切れないことを示せ。

二項定理を使うらしいのですが、二項定理って、2^n=(1+1)^n=nC0+nC1+・・・+nCnというものですよね。これを代入してみても次に何をすればいいのか分かりません。教えてください。お願いします。

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■25601 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 二項定理

▲▼■

□投稿者/ らすかる大御所(733回)-(2007/06/11(Mon) 22:15:57)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

2^n1 の n1 とは何ですか？

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■25603 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 二項定理

▲▼■

□投稿者/ Re 一般人(1回)-(2007/06/12(Tue) 00:22:01)

■No25600に返信(detourさんの記事)
> 問題
> nを正の整数とする。2^n1は15で割り切れないことを示せ。
>
2^n + 1 で；
In[16]:=
Table[2^n + 1, {n, 1, 19}]

Out[16]=
{3, 5, 9, 17, 33, 65, 129, 257, 513, 1025,
2049, 4097, 8193, 16385, 32769, 65537,
131073, 262145, 524289}

In[17]:=
Mod[%, 15]

Out[17]=
{3, 5, 9, 2, 3, 5, 9, 2, 3, 5, 9, 2, 3, 5,
9, 2, 3, 5, 9}
<--非零

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■25610 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 二項定理

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□投稿者/ detour 一般人(49回)-(2007/06/12(Tue) 14:27:06)

すみませんでした。2^n1は2^n+1です。

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■25611 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 二項定理

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□投稿者/ ゼロベテラン(247回)-(2007/06/12(Tue) 15:02:25)

2^n≡(-1)^n(mod 3)なので、
2^n+1≡0(mod 3) if n≡1(mod 2)･･･①

一方n=2kの時、･･･②
2^(2k)≡(-1)^k (mod 5)なので、
2^(2k)+1≡0(mod 5) if k≡1(mod 5)

n=2k+1の時は･･･③
2^n+1 not≡ 0(mod 5)

①,②の条件は両立しないので、15では割り切れません。

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■25614 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 二項定理

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□投稿者/ ゼロベテラン(249回)-(2007/06/12(Tue) 15:18:42)

すみません。

2^(2k)+1≡0(mod 5) if k≡1(mod 5)

は

2^(2k)+1≡0(mod 5) if k≡1(mod 2)

の誤りです。

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■25616 / inTopicNo.7)

　Re[2]: 二項定理

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□投稿者/ らすかる大御所(734回)-(2007/06/12(Tue) 15:47:49)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

別解
2^1≡2, 2^2≡4, 2^3≡8, 2^4≡1 (mod 15) から
2^n+1≡2,3,5,9 (mod 15) なので15では割り切れない。

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■25617 / inTopicNo.8)

　Re[2]: 二項定理

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□投稿者/ らすかる大御所(735回)-(2007/06/12(Tue) 16:19:31)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

二項定理を使うなら
2^(4m)=16^m=(1+15)^m=1+mC1・15+mC2・15^2+…=15k+1
2^(4m+1)=2・16^m=2(15k+1)=15(2k)+2
2^(4m+2)=4・16^m=4(15k+1)=15(4k)+4
2^(4m+3)=8・16^m=8(15k+1)=15(8k)+8
よって2^nを15で割った余りは1,2,4,8のいずれかなので、
2^n+1を15で割った余りは2,3,5,9のいずれかとなり、
2^n+1は15で割り切れない。

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