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■25600
/ inTopicNo.1)
二項定理
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□投稿者/ detour
一般人(48回)-(2007/06/11(Mon) 22:06:42)
問題
nを正の整数とする。2^n1は15で割り切れないことを示せ。
二項定理を使うらしいのですが、二項定理って、2^n=(1+1)^n=nC0+nC1+・・・+nCnというものですよね。これを代入してみても次に何をすればいいのか分かりません。教えてください。お願いします。
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■25601
/ inTopicNo.2)
Re[1]: 二項定理
▲
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■
□投稿者/ らすかる
大御所(733回)-(2007/06/11(Mon) 22:15:57)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp
2^n1 の n1 とは何ですか?
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■25603
/ inTopicNo.3)
Re[1]: 二項定理
▲
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■
□投稿者/ Re
一般人(1回)-(2007/06/12(Tue) 00:22:01)
■
No25600
に返信(detourさんの記事)
> 問題
> nを正の整数とする。2^n1は15で割り切れないことを示せ。
>
2^n + 1 で;
In[16]:=
Table[2^n + 1, {n, 1, 19}]
Out[16]=
{3, 5, 9, 17, 33, 65, 129, 257, 513, 1025,
2049, 4097, 8193, 16385, 32769, 65537,
131073, 262145, 524289}
In[17]:=
Mod[%, 15]
Out[17]=
{3, 5, 9, 2, 3, 5, 9, 2, 3, 5, 9, 2, 3, 5,
9, 2, 3, 5, 9}
<--非零
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■25610
/ inTopicNo.4)
Re[1]: 二項定理
▲
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■
□投稿者/ detour
一般人(49回)-(2007/06/12(Tue) 14:27:06)
すみませんでした。2^n1は2^n+1です。
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■25611
/ inTopicNo.5)
Re[2]: 二項定理
▲
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■
□投稿者/ ゼロ
ベテラン(247回)-(2007/06/12(Tue) 15:02:25)
2^n≡(-1)^n(mod 3)なので、
2^n+1≡0(mod 3) if n≡1(mod 2)・・・@
一方n=2kの時、・・・A
2^(2k)≡(-1)^k (mod 5)なので、
2^(2k)+1≡0(mod 5) if k≡1(mod 5)
n=2k+1の時は・・・B
2^n+1 not≡ 0(mod 5)
@,Aの条件は両立しないので、15では割り切れません。
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■25614
/ inTopicNo.6)
Re[3]: 二項定理
▲
▼
■
□投稿者/ ゼロ
ベテラン(249回)-(2007/06/12(Tue) 15:18:42)
すみません。
2^(2k)+1≡0(mod 5) if k≡1(mod 5)
は
2^(2k)+1≡0(mod 5) if k≡1(mod 2)
の誤りです。
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■25616
/ inTopicNo.7)
Re[2]: 二項定理
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□投稿者/ らすかる
大御所(734回)-(2007/06/12(Tue) 15:47:49)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp
別解
2^1≡2, 2^2≡4, 2^3≡8, 2^4≡1 (mod 15) から
2^n+1≡2,3,5,9 (mod 15) なので15では割り切れない。
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/
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■25617
/ inTopicNo.8)
Re[2]: 二項定理
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□投稿者/ らすかる
大御所(735回)-(2007/06/12(Tue) 16:19:31)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp
二項定理を使うなら
2^(4m)=16^m=(1+15)^m=1+mC1・15+mC2・15^2+…=15k+1
2^(4m+1)=2・16^m=2(15k+1)=15(2k)+2
2^(4m+2)=4・16^m=4(15k+1)=15(4k)+4
2^(4m+3)=8・16^m=8(15k+1)=15(8k)+8
よって2^nを15で割った余りは1,2,4,8のいずれかなので、
2^n+1を15で割った余りは2,3,5,9のいずれかとなり、
2^n+1は15で割り切れない。
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