 | 2007/06/07(Thu) 13:35:56 編集(投稿者)
2007/06/07(Thu) 13:33:54 編集(投稿者)
背理法で示します。
y=(1-x)e^x (A)
とします。
(A)より
y'=-xe^x (A)'
∴(A)上の点P(t,(1-t)e^t)を考えると、Pにおける(A)の接線の方程式は
y=-(te^t)(x-t)+(1-t)e^t (B)
今、(B)がP以外の(A)上の点Q(s,(1-s)e^s)で(A)と接していると仮定すると
(1-s)e^s=-(te^t)(s-t)+(1-t)e^t (B)'
接線の傾きについて
-se^s=-te^t (C)
ここでt=0とすると(C)よりs=0ゆえs=tとなり不適。従って
t≠0
このとき(C)を用いて(B)'からe^tを消去して整理すると
(1+st)(s-t)=0 (E)
s≠tですので
st=-1
∴s,tは異符号であることが分かります。
ところがこのとき(A)'よりP,Qにおける接線の傾きは異符号になってしまい、仮定に矛盾します。
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