| 2007/06/07(Thu) 13:35:56 編集(投稿者) 2007/06/07(Thu) 13:33:54 編集(投稿者)
背理法で示します。
y=(1-x)e^x (A) とします。 (A)より y'=-xe^x (A)' ∴(A)上の点P(t,(1-t)e^t)を考えると、Pにおける(A)の接線の方程式は y=-(te^t)(x-t)+(1-t)e^t (B)
今、(B)がP以外の(A)上の点Q(s,(1-s)e^s)で(A)と接していると仮定すると (1-s)e^s=-(te^t)(s-t)+(1-t)e^t (B)' 接線の傾きについて -se^s=-te^t (C) ここでt=0とすると(C)よりs=0ゆえs=tとなり不適。従って t≠0 このとき(C)を用いて(B)'からe^tを消去して整理すると (1+st)(s-t)=0 (E) s≠tですので st=-1 ∴s,tは異符号であることが分かります。 ところがこのとき(A)'よりP,Qにおける接線の傾きは異符号になってしまい、仮定に矛盾します。
|