 | 【解法１】 部分積分と置換積分
I=∫√(x^2+a＾2)dx=x√(x^2+a^2)-∫x^2dx/√(x^2+a^2)
= x√(x^2+a^2)-I+∫a^2dx/√(x^2+a^2)
∴I=(1/2)( x√(x^2+a^2)+∫a^2dx/√(x^2+a^2))
あとはJ=∫dx/ √(x^2+a^2) を求めればよい。
√(x^2+a^2)+x=t とおくと （これは定番）
ちょこちょこと変形して・・・・
J=・・・・=∫dt/t=ln（√x^2+a^2）+x)
よって、I=(1/2)( x√(x^2+a^2)+a^2 ln（√x^2+a^2）+x)+C
【解法２】 双曲線関数を知っていたら、変形は簡単になります。
x=asinht とおくと dx=acosht、 x^2+a^2=(acosht)^2より、
I=a^2∫(cosht)^2dt=a^2∫(cosh(2t)+1)dt/2
=(a^2/2)((1/2)sinh(2t)+t)+C
(1/2)sinh(2t)=sinht・cosht=(x/a)√(1+(x/a)^2)
t=arcsinh(x/a)
∴I=(1/2)(x√(x^2+a^2)+a^2arcsinh(x/a))+C
逆双曲線を残したくなければ
arcsinh(x/a)=ln(x/a+√((x/a)^2+1))=ln(x+√(x^2+a^2))-lna
ですから１と同じ表記になります。
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