| 【解法1】 部分積分と置換積分 I=∫√(x^2+a^2)dx=x√(x^2+a^2)-∫x^2dx/√(x^2+a^2) = x√(x^2+a^2)-I+∫a^2dx/√(x^2+a^2) ∴I=(1/2)( x√(x^2+a^2)+∫a^2dx/√(x^2+a^2)) あとはJ=∫dx/ √(x^2+a^2) を求めればよい。 √(x^2+a^2)+x=t とおくと (これは定番) ちょこちょこと変形して・・・・ J=・・・・=∫dt/t=ln(√x^2+a^2)+x) よって、I=(1/2)( x√(x^2+a^2)+a^2 ln(√x^2+a^2)+x)+C
【解法2】 双曲線関数を知っていたら、変形は簡単になります。 x=asinht とおくと dx=acosht、 x^2+a^2=(acosht)^2より、 I=a^2∫(cosht)^2dt=a^2∫(cosh(2t)+1)dt/2 =(a^2/2)((1/2)sinh(2t)+t)+C (1/2)sinh(2t)=sinht・cosht=(x/a)√(1+(x/a)^2) t=arcsinh(x/a) ∴I=(1/2)(x√(x^2+a^2)+a^2arcsinh(x/a))+C 逆双曲線を残したくなければ arcsinh(x/a)=ln(x/a+√((x/a)^2+1))=ln(x+√(x^2+a^2))-lna ですから1と同じ表記になります。
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