数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: n^5-nの整数 / Page: 0]

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■25007 / inTopicNo.1)

　n^5-nの整数

▼■

□投稿者/ Sweet 一般人(13回)-(2007/05/19(Sat) 02:29:36)

$2$n^5-n$ は任意の整数ｎに対して３０で割り切れ、ｎが奇数であれば２４０で割り切れることを証明せよ。

お願いします！教えてください☆

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■25010 / inTopicNo.2)

　Re[1]: n^5-nの整数

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□投稿者/ らすかる大御所(693回)-(2007/05/19(Sat) 10:44:23)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

n^5-n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1) であり
(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)は5!=120の倍数、(n-1)n(n+1)は3!=6の倍数なので
n^5-nは30の倍数。

nが奇数のときは、n=2m-1として
n^5-n=(2m-1)^5-(2m-1)
=32(m-2)(m-1)m(m+1)(m+2)-80(m-1)m(m+1)(m+2)+400(m-1)m(m+1)-120(m-1)m
連続するp項の積はp!の倍数であることから各項が240の倍数になるので、
全体も240の倍数。

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■25025 / inTopicNo.3)

　Re[2]: n^5-nの整数

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□投稿者/ Sweet 一般人(17回)-(2007/05/19(Sat) 19:51:10)

なるほど！
でも、僕には
の因数分解は、思いつきません・・・
ありがとうございました☆

解決済み!

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