 | (1) n = 2k+1 のとき
√1×10^k ≦ p ＜ √2×10^k ⇒ p^2 の最高位 1
√2×10^k ≦ p ＜ √3×10^k ⇒ p^2 の最高位 2
...
√9×10^k ≦ p ＜ √10×10^k ⇒ p^2 の最高位 9
となります。そこで
α[2k+1] = ∑[s:1→10] (-1)^s √s×10^k
β[2k+1] = ∑[s:2→9] (-1)^(s+1) √s×10^k
と置き、十分大きな δ > 0 (10 くらい)をとれば
α[2k+1] - δ ≦ A[2k+1] ≦ α[2k+1] + δ
β[2k+1] - δ ≦ B[2k+1] ≦ β[2k+1] + δ
と評価できます。したがって、
(β[2k+1] - δ)/(α[2k+1] + δ) ≦ B[2k+1]/A[2k+1] ≦ (β[2k+1] + δ)/(α[2k+1] - δ)
なる不等式が成立し、はさみうちの原理から
lim[k→∞] B[2k+1]/A[2k+1]
= ( ∑[s:2→9] (-1)^(s+1) √s ) / ( ∑[s:1→10] (-1)^s √s )
となります。
(2) n = 2k のとき
√10×10^(k-1) ≦ p ＜ √20×10^(k-1) ⇒ p^2 の最高位 1
√20×10^(k-1) ≦ p ＜ √30×10^(k-1) ⇒ p^2 の最高位 2
...
√90×10^(k-1) ≦ p ＜ √100×10^(k-1) ⇒ p^2 の最高位 9
を利用すれば(1)と同様なので、結局
lim[n→∞] B[n]/A[n]
= ( ∑[s:2→9] (-1)^(s+1) √s ) / ( ∑[s:1→10] (-1)^s √s )
= 0.74301607103955...
となります。
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