数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 極限です / Page: 0]

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■24443 / inTopicNo.1)

　極限です

□投稿者/ Tom 一般人(4回)-(2007/05/03(Thu) 12:12:56)

2007/05/03(Thu) 12:14:35 編集(投稿者)
2007/05/03(Thu) 12:13:57 編集(投稿者)

次の命題の真偽を示し、真なら証明し、偽なら反例を1つ挙げなさい。
①１より大きいすべてのｍ∈Ｎに対し $2$a_{mn}$ が収束すれば、 $2$a_{n}$ も収束する。
② $2$a_n+a_{n+1}$ と $2$a_n+a_{n+2}$ がともに収束すれば、 $2$a_n$ も収束する。
③あるｍ∈Ｎに対して $2$a_n+a_{n+m}$ と $2$a_na_{n+1}$ がともに収束すれば、 $2$a_n$ も収束する。
④閉区間[0,1]内の任意の数列 $2${a_n}$ に対して、 $2$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{{n}}$ は収束する。
⑤閉区間[a,b]上で定義された連続関数f(x)が[a,b]内のすべての有理数ｒに対してf(r)=0であるとき、このf(x)は[a,b]で恒等的に０である。

⑤は真だということらしいですが、他のは真偽すら分かっていません。お願いします。

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■24448 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 極限です

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□投稿者/ けにい軍団(114回)-(2007/05/03(Thu) 15:18:58)

(1) 数列 a[k] を

k が素数である ⇒ a[k] = 1
k が素数でない ⇒ a[k] = 0

によって定義したらどうなりますか？

(2) 収束列に対しては四則演算と極限の入れ替えが可能です。したがって
lim_n(a[n] + a[n+1]) = p, lim_n(a[n] + a[n+2]) = q と置くと

p - q
= lim_n(a[n+1] + a[n+2]) - lim_n(a[n] + a[n+2])
= lim_n( a[n+1] + a[n+2] - (a[n] + a[n+2]) )
= lim_n(a[n+1] - a[n])

となります。同様にして 1/2 (p - (p - q)) = lim_n(a[n]) となるので
命題は真です。

(3) 数列 a[n] = (-1)^n に対して m = 1 の場合を考えてみると、任意の
自然数 n に対して a[n] + a[n+m] = 0 かつ a[n] a[n+1] = -1 となり、
両数列とも収束します。しかし、a[n] は収束しません。

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■24449 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 極限です

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□投稿者/ けにい軍団(115回)-(2007/05/03(Thu) 15:21:20)

(4) e[n] = (a[1] + a[2] + ... + a[n])/n ∈ [2/3, 1] であったと仮定
します。このとき、n' = 3n をとり a[n+1] = a[n+2] = ... = a[n'] = 0
と定義すれば

e[n']
＝ (a[1] + a[2] + ... + a[n'])/n'
＝ (a[1] + a[2] + ... + a[n])/n × n/n'
≦ 1/3

であるので e[n'] ∈ [0, 1/3] となります。次に、n" = 3n' をとり
a[n'+1] = a[n'+2] = ... = a[n"] = 1 と定義すれば

e[n"]
＝ (a[1] + a[2] + ... + a[n"])/n"
＝ (a[1] + a[2] + ... + a[n'])/n' × n'/n" + (n" - n')/n"
≧ 2/3

であるので再び e[n"] ∈ [2/3, 1] となります。つまり、この操作を繰り
返すことで振動する数列 e[n] を定義できます。

(5) 任意の無理数 x ∈ [a, b] に対して、x に収束する有理数列 r[n] が
取れます。例えば、r[n] を x の小数表現の頭から n 桁の値とすればよい
のです。関数 f が連続なので

f( lim_n(r[n]) ) = lim_n( f(r[n]) ) = 0

が成り立ちます。

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■24457 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 極限です

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□投稿者/ Tom 一般人(5回)-(2007/05/03(Thu) 21:16:33)

勉強になります。ありがとうございます。

解決済み!

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