| (4) e[n] = (a[1] + a[2] + ... + a[n])/n ∈ [2/3, 1] であったと仮定 します。このとき、n' = 3n をとり a[n+1] = a[n+2] = ... = a[n'] = 0 と定義すれば
e[n'] = (a[1] + a[2] + ... + a[n'])/n' = (a[1] + a[2] + ... + a[n])/n × n/n' ≦ 1/3
であるので e[n'] ∈ [0, 1/3] となります。次に、n" = 3n' をとり a[n'+1] = a[n'+2] = ... = a[n"] = 1 と定義すれば
e[n"] = (a[1] + a[2] + ... + a[n"])/n" = (a[1] + a[2] + ... + a[n'])/n' × n'/n" + (n" - n')/n" ≧ 2/3
であるので再び e[n"] ∈ [2/3, 1] となります。つまり、この操作を繰り 返すことで振動する数列 e[n] を定義できます。
(5) 任意の無理数 x ∈ [a, b] に対して、x に収束する有理数列 r[n] が 取れます。例えば、r[n] を x の小数表現の頭から n 桁の値とすればよい のです。関数 f が連続なので
f( lim_n(r[n]) ) = lim_n( f(r[n]) ) = 0
が成り立ちます。
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