数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[7]: 2重積分 / Page: 0]

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■24307 / inTopicNo.1)

　2重積分

□投稿者/ わんわん一般人(35回)-(2007/04/27(Fri) 13:06:12)

a>b>0　とする。　座標空間において、不等式　{√(x^2+y^2)-a}^2+z^2<=b^2

で表された部分の体積の求め方を教えてください。　ただし、3重積分を使わずに2重積分を使って、解いてほしいんですが。

すいません、よろしくお願いいたします。

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■24309 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 2重積分

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□投稿者/ ゼロ軍団(138回)-(2007/04/27(Fri) 13:28:24)

-√(b^2-z^2)+a≦√(x^2+y^2)≦√(b^2-z^2)+a
でa>bより、-b≦z≦bの範囲で半径r1=√(b^2-z^2)+aの円と、半径r2=-√(b^2-z^2)+a
の円で囲まれた領域だと分かります。

この領域の面積はπ(r1^2-r2^2)=π(r1+r2)(r1-r2)=4πa√(b^2-z^2)
あとはこれを-b～bまでzについて積分すればOKです。

8π∫_{0～b}dz√(b^2-z^2)
2重積分の形で書きたい場合は適当にバラして下さい。

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■24316 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 2重積分

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□投稿者/ X ベテラン(202回)-(2007/04/27(Fri) 14:15:05)

別解）
問題の不等式より
-√{b^2-{√(x^2+y^2)-a}^2}≦z≦√{b^2-{√(x^2+y^2)-a}^2}
∴求める体積をVとすると,問題の立体がxy平面に関して対称であることに注意して

V=2∬[S]√{b^2-{√(x^2+y^2)-a}^2}dxdy
(但し、S:{√(x^2+y^2)-a}^2≦b^2,z=0
つまり
S:(a-b)^2≦x^2+y^2≦(a+b)^2,z=0)
となります。

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■24317 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 2重積分

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□投稿者/ わんわん一般人(36回)-(2007/04/27(Fri) 14:15:48)

すいません。自分の力不足でこの解が本当に求める体積を表しているのかがわかりません。

領域D={(x,y)|x^2+y^2<=a^2｝　などを使っての解法などはありませんか？
何度もすいません、よろしくお願いいたします。

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■24318 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 2重積分

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□投稿者/ わんわん一般人(37回)-(2007/04/27(Fri) 14:47:01)

本当に何度もすいません。
xとyの積分区間を教えてほしいのですが、よろしくお願いいたします。

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■24322 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 2重積分

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□投稿者/ X ベテラン(204回)-(2007/04/27(Fri) 18:22:50)

2007/04/28(Sat) 10:33:53 編集(投稿者)
2007/04/27(Fri) 18:37:38 編集(投稿者)

・式の導出について
xy平面上に積分範囲を取った場合、
dV=|z|dxdy
∴V=∬[S]|z|dxdy
この問題の場合、立体の境界の方程式は
z=√{b^2-{√(x^2+y^2)-a}^2}
z=-√{b^2-{√(x^2+y^2)-a}^2}
どちらも
|z|=√{b^2-{√(x^2+y^2)-a}^2}
ですので
V=2∬[S]√{b^2-{√(x^2+y^2)-a}^2}dxdy

・計算方法について
極座標変換します。
x=rcosθ
y=rsinθ
と置くと
S:z=0,a-b≦r≦a+b,0≦θ≦2π
でヤコビヤンをJとすると
J=r
∴V=2∫[r:a-b→a+b]∫[θ:0→2π]r√{b^2-(r-a)^2}dθdr
=4π∫[r:a-b→a+b]r√{b^2-(r-a)^2}dr
=…
=2a(πb)^2

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■24327 / inTopicNo.7)

　Re[4]: 2重積分

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□投稿者/ わんわん一般人(38回)-(2007/04/27(Fri) 20:48:16)

力不足ですいません。

∫∫ $2$ \sqrt{b^2-(r-a)^2}*r drd\theta \quad$

　　はどのように積分すればいいのですか？
教えてください。お願いいたします。

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■24329 / inTopicNo.8)

　Re[5]: 2重積分

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□投稿者/ わんわん一般人(39回)-(2007/04/28(Sat) 04:21:18)

$2$ \displaystyle\int {\left( \sqrt{b^2-(r-a)^2}*r \right)dr}$

何とか解法を教えてください。お願いします。

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■24330 / inTopicNo.9)

　Re[6]: 2重積分

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□投稿者/ X ベテラン(205回)-(2007/04/28(Sat) 10:37:15)

r-a=t
とおいて置換積分すると
∫[r:a-b→a+b]r√{b^2-(r-a)^2}dr
=∫[t:-b→b](t+a)√(b^2-t^2)dt
=∫[t:-b→b]t√(b^2-t^2)dt+∫[t:-b→b]a√(b^2-t^2)dt
=a∫[t:-b→b]√(b^2-t^2)dt
(∵)t√(b^2-t^2)はtの奇関数
となります。

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■24336 / inTopicNo.10)

　Re[7]: 2重積分

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□投稿者/ わんわん一般人(40回)-(2007/04/28(Sat) 15:03:59)

Ｘさんありがとうございます。
やっと解けました。重積分のことが勉強できて本当によかったです。
ありがとうございました。

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