数学ナビゲーター掲示板
(現在 過去ログ3 を表示中)
HOME
HELP
新規作成
新着記事
トピック表示
発言ランク
ファイル一覧
検索
過去ログ
[
最新記事及び返信フォームをトピックトップへ
]
[ トピック内全10記事(1-10 表示) ] <<
0
>>
■24307
/ inTopicNo.1)
2重積分
▼
■
□投稿者/ わんわん
一般人(35回)-(2007/04/27(Fri) 13:06:12)
a>b>0 とする。 座標空間において、不等式 {√(x^2+y^2)-a}^2+z^2<=b^2
で表された部分の体積の求め方を教えてください。 ただし、3重積分を使わずに2重積分を使って、解いてほしいんですが。
すいません、よろしくお願いいたします。
引用返信
/
返信
[メール受信/OFF]
削除キー/
編集
削除
■24309
/ inTopicNo.2)
Re[1]: 2重積分
▲
▼
■
□投稿者/ ゼロ
軍団(138回)-(2007/04/27(Fri) 13:28:24)
-√(b^2-z^2)+a≦√(x^2+y^2)≦√(b^2-z^2)+a
でa>bより、-b≦z≦bの範囲で半径r1=√(b^2-z^2)+aの円と、半径r2=-√(b^2-z^2)+a
の円で囲まれた領域だと分かります。
この領域の面積はπ(r1^2-r2^2)=π(r1+r2)(r1-r2)=4πa√(b^2-z^2)
あとはこれを-b〜bまでzについて積分すればOKです。
8π∫_{0〜b}dz√(b^2-z^2)
2重積分の形で書きたい場合は適当にバラして下さい。
引用返信
/
返信
[メール受信/OFF]
削除キー/
編集
削除
■24316
/ inTopicNo.3)
Re[1]: 2重積分
▲
▼
■
□投稿者/ X
ベテラン(202回)-(2007/04/27(Fri) 14:15:05)
別解)
問題の不等式より
-√{b^2-{√(x^2+y^2)-a}^2}≦z≦√{b^2-{√(x^2+y^2)-a}^2}
∴求める体積をVとすると,問題の立体がxy平面に関して対称であることに注意して
V=2∬[S]√{b^2-{√(x^2+y^2)-a}^2}dxdy
(但し、S:{√(x^2+y^2)-a}^2≦b^2,z=0
つまり
S:(a-b)^2≦x^2+y^2≦(a+b)^2,z=0)
となります。
引用返信
/
返信
[メール受信/OFF]
削除キー/
編集
削除
■24317
/ inTopicNo.4)
Re[2]: 2重積分
▲
▼
■
□投稿者/ わんわん
一般人(36回)-(2007/04/27(Fri) 14:15:48)
すいません。自分の力不足でこの解が本当に求める体積を表しているのかがわかりません。
領域D={(x,y)|x^2+y^2<=a^2} などを使っての解法などはありませんか?
何度もすいません、よろしくお願いいたします。
引用返信
/
返信
[メール受信/OFF]
削除キー/
編集
削除
■24318
/ inTopicNo.5)
Re[2]: 2重積分
▲
▼
■
□投稿者/ わんわん
一般人(37回)-(2007/04/27(Fri) 14:47:01)
本当に何度もすいません。
xとyの積分区間を教えてほしいのですが、よろしくお願いいたします。
引用返信
/
返信
[メール受信/OFF]
削除キー/
編集
削除
■24322
/ inTopicNo.6)
Re[3]: 2重積分
▲
▼
■
□投稿者/ X
ベテラン(204回)-(2007/04/27(Fri) 18:22:50)
2007/04/28(Sat) 10:33:53 編集(投稿者)
2007/04/27(Fri) 18:37:38 編集(投稿者)
・式の導出について
xy平面上に積分範囲を取った場合、
dV=|z|dxdy
∴V=∬[S]|z|dxdy
この問題の場合、立体の境界の方程式は
z=√{b^2-{√(x^2+y^2)-a}^2}
z=-√{b^2-{√(x^2+y^2)-a}^2}
どちらも
|z|=√{b^2-{√(x^2+y^2)-a}^2}
ですので
V=2∬[S]√{b^2-{√(x^2+y^2)-a}^2}dxdy
・計算方法について
極座標変換します。
x=rcosθ
y=rsinθ
と置くと
S:z=0,a-b≦r≦a+b,0≦θ≦2π
でヤコビヤンをJとすると
J=r
∴V=2∫[r:a-b→a+b]∫[θ:0→2π]r√{b^2-(r-a)^2}dθdr
=4π∫[r:a-b→a+b]r√{b^2-(r-a)^2}dr
=…
=2a(πb)^2
引用返信
/
返信
[メール受信/OFF]
削除キー/
編集
削除
■24327
/ inTopicNo.7)
Re[4]: 2重積分
▲
▼
■
□投稿者/ わんわん
一般人(38回)-(2007/04/27(Fri) 20:48:16)
力不足ですいません。
∫∫
はどのように積分すればいいのですか?
教えてください。お願いいたします。
引用返信
/
返信
[メール受信/OFF]
削除キー/
編集
削除
■24329
/ inTopicNo.8)
Re[5]: 2重積分
▲
▼
■
□投稿者/ わんわん
一般人(39回)-(2007/04/28(Sat) 04:21:18)
何とか解法を教えてください。お願いします。
引用返信
/
返信
[メール受信/OFF]
削除キー/
編集
削除
■24330
/ inTopicNo.9)
Re[6]: 2重積分
▲
▼
■
□投稿者/ X
ベテラン(205回)-(2007/04/28(Sat) 10:37:15)
r-a=t
とおいて置換積分すると
∫[r:a-b→a+b]r√{b^2-(r-a)^2}dr
=∫[t:-b→b](t+a)√(b^2-t^2)dt
=∫[t:-b→b]t√(b^2-t^2)dt+∫[t:-b→b]a√(b^2-t^2)dt
=a∫[t:-b→b]√(b^2-t^2)dt
(∵)t√(b^2-t^2)はtの奇関数
となります。
引用返信
/
返信
[メール受信/OFF]
削除キー/
編集
削除
■24336
/ inTopicNo.10)
Re[7]: 2重積分
▲
▼
■
□投稿者/ わんわん
一般人(40回)-(2007/04/28(Sat) 15:03:59)
Xさんありがとうございます。
やっと解けました。重積分のことが勉強できて本当によかったです。
ありがとうございました。
引用返信
/
返信
[メール受信/OFF]
削除キー/
編集
削除
トピック内ページ移動 / <<
0
>>
このトピックに書きこむ
過去ログには書き込み不可
Mode/
通常管理
表示許可
Pass/
HOME
HELP
新規作成
新着記事
トピック表示
発言ランク
ファイル一覧
検索
過去ログ
-
Child Tree
-
Edit By
数学ナビゲーター