数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 立体Kの体積 / Page: 0]

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■24304 / inTopicNo.1)

　立体Kの体積

□投稿者/ detour 一般人(30回)-(2007/04/27(Fri) 10:57:03)

【質問】

xyz空間の4点(0,0,0)、(cosθ,sinθ,0)、(cosθ,sinθ,θ)、(0,0,θ)を頂点とする長方形をRθとし、θが0からπ/2まで変化するとき、Rθが動いてできる立体をKとする。Kの体積を求めよ。

(cosθ,sinθ,0)は半径1の円の四分の一を、(cosθ,sinθ,θ)は半径1の円の四分の一で、だんだん高さが高くなっていき、(0,0,θ)は高さだけが高くなっていくという、立体の形は何となくわかるのですが、こんな立体の体積なんてどうやって求めたらいいのか全然分かりません。教えてください。お願いします。

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■24305 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 立体Kの体積

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□投稿者/ ゼロ軍団(137回)-(2007/04/27(Fri) 11:40:38)

円柱座標を用いるのが簡単でしょう。円柱座標とは(r,θ,z)と言う座標です。
3次元積分は微小体積要素がrdrdθdzなので、

V=∫_{0～π/2}dθ∫_{0～1}rdr∫_{0～θ}dz
を求めれば良いことになります。

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■24308 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 立体Kの体積

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□投稿者/ detour 一般人(31回)-(2007/04/27(Fri) 13:23:22)

To ゼロ様

回答をどうもありがとうございました。ただ正直やっていることが全然わからないです。円柱座標というのは聞いたことがないですし、調べてもわかりませんでした。

＞3次元積分は微小体積要素がrdrdθdzなので、V=∫_{0～π/2}dθ∫_{0～1}rdr∫_{0～θ}dz

これも何のことなのかわかりません。もしや大学程度の内容では？この問題は一応1991年の東北大学の入試問題だそうですので、できれば高校程度の知識で教えていただけませんか？どうかお願いします。

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■24310 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 立体Kの体積

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□投稿者/ X ファミリー(199回)-(2007/04/27(Fri) 13:33:00)

2007/04/27(Fri) 13:44:00 編集(投稿者)
2007/04/27(Fri) 13:36:20 編集(投稿者)

横から失礼します。

問題の立体を
平面z=t(但し0≦t≦π/2)
で切った断面は
半径が1、中心角がπ/2-tの扇形になっています。
∴この断面積をS(t)とすると
S(t)=π{(π/2-t)/(2π)}=(1/2)(π/2-t)
よって求める体積をVとすると
V=∫[0→π/2]S(t)dt
=(1/2)∫[0→π/2](π/4-t)dt
=(1/16)π^2
となります。

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■24311 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 立体Kの体積

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□投稿者/ ゼロ軍団(139回)-(2007/04/27(Fri) 13:33:23)

高校生の方でしたか！てっきり大学生の方かと。
すみません。

極座標と言うのはご存知でしょうか?
極座標にz軸方向が加わっただけです。

ちなみに、高校過程がどの程度まで3次元積分をカバーしているのか
知りませんので^^;他の回答者の方にバトンタッチします。

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■24312 / inTopicNo.6)

　Re[1]: 立体Kの体積

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□投稿者/ ゼロ軍団(140回)-(2007/04/27(Fri) 13:37:44)

>Xさんへ

別回答ありがとうございました。
ただ、S(t)=π{(π/2-t)/(2π)}=π/2-t
ですが、1/2の因子が最右辺で抜けていませんか?

重箱の隅をつつくようで恐縮ですが・・・。

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■24313 / inTopicNo.7)

　Re[4]: 立体Kの体積

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□投稿者/ X ベテラン(200回)-(2007/04/27(Fri) 13:42:39)

＞＞ゼロさんへ
高校の教育課程にはおそらく重積分は含まれていないと思います。
少なくとも私が高校の時には授業で学習しませんでした。

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■24314 / inTopicNo.8)

　Re[2]: 立体Kの体積

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□投稿者/ X ベテラン(201回)-(2007/04/27(Fri) 13:45:24)

>>ゼロさんへ

>>1/2の因子が最右辺で抜けていませんか?
ごめんなさい。その通りですね。
No.24310のレスを直接修正しました。

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■24315 / inTopicNo.9)

　Re[3]: 立体Kの体積

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□投稿者/ ゼロ軍団(141回)-(2007/04/27(Fri) 13:48:55)

>Xさん

>高校の教育課程にはおそらく重積分は含まれていないと思います。
>少なくとも私が高校の時には授業で学習しませんでした。

なるほど!そうなんですか。これは勉強になりました。ありがとうございます。
卒業して、大分経過したので、大学で習ったことと、高校で習ったことが
ごちゃごちゃになってまして^^;

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■24320 / inTopicNo.10)

　Re[4]: 立体Kの体積

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□投稿者/ detour 一般人(32回)-(2007/04/27(Fri) 17:47:55)

To X様

回答をしていただきまして、どうもありがとうございました。でもちょっとX様がやられていることがわからないので質問です。

＞平面z=t(但し0≦t≦π/2)で切った断面は

以前ここで回答をされているとある方に、「z=tは平面を表している」と聞いたことがあります（何故平面なのかまでは聞けませんでしたが）。それはともかく、何故平面z=t(但し0≦t≦π/2)で切った断面なんてものを考えているのですか？

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■24321 / inTopicNo.11)

　Re[1]: 立体Kの体積

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□投稿者/ X ベテラン(203回)-(2007/04/27(Fri) 18:09:21)

2007/04/27(Fri) 18:28:51 編集(投稿者)

ある立体をx軸に垂直な平面で切ったときの断面積をS(x)としたとき、この立体の体積Vは
V=∫S(x)dx
となることはよろしいですか？
これの意味するところは、適当な座標軸に垂直な平面による断面積が
その座標軸に設定した変数（x軸ならx,y軸ならy)の関数であれば
積分で体積が計算できるということです。
このことを頭に入れてもう一度回答をご覧下さい。

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■24328 / inTopicNo.12)

　Re[2]: 立体Kの体積

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□投稿者/ detour 一般人(33回)-(2007/04/28(Sat) 00:40:02)

To　X様

お答えどうもありがとうございます。なるほど、この問題は数学Ⅲの積分法の応用の知識を使って解くんですね。全然気がつきませんでした。だからz=tという平面での断面を考えたんですね。断面をz=tという平面に選ぶのも難しいですね。では次の質問です。

＞半径が1、中心角がπ/2-tの扇形

なぜ断面はそのようになるのですか？z=tとすると、(0,0,t)と(cost,sint,t)を結ぶ線分になると思うのですが？

もう少し解説をお願いします。

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■24331 / inTopicNo.13)

　Re[3]: 立体Kの体積

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□投稿者/ X ベテラン(206回)-(2007/04/28(Sat) 10:42:49)

＞＞z=tとすると、(0,0,t)と(cost,sint,t)を結ぶ線分になると思うのですが？
それは問題の立体の側面の断面の一部です。
z=tで切った断面は
(0,0,t)と(cost,sint,t)を結ぶ線分
(0,0,t)と(1,1,t)を結ぶ線分
(cost,sint,t)と(1,1,t)を両端とする弧
で囲まれた領域、つまり扇形になります。
これの中心角が
π/2-t
です。

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■24332 / inTopicNo.14)

　Re[4]: 立体Kの体積

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□投稿者/ X ベテラン(207回)-(2007/04/28(Sat) 10:45:46)

2007/04/28(Sat) 10:58:01 編集(投稿者)

補足説明）
・平面z=tについて
これはz軸上の点(0,0,t)を通り、法線ベクトルが(0,0,1)
つまりとz軸と平行なるような法線ベクトルを持つ平面です。
言い換えれば
z軸上の点(0,0,t)を通り、xy平面に平行な平面
です。

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■24335 / inTopicNo.15)

　Re[4]: 立体Kの体積

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□投稿者/ detour 一般人(34回)-(2007/04/28(Sat) 12:52:58)

To X様

＞z軸上の点(0,0,t)を通り、xy平面に平行な平面です。

納得できました。そういうことだったんですか。

＞それは問題の立体の側面の断面の一部です。

ここがどうしても納得できないです。長方形Rθの高さがt(z=t)での断面は線分になると思いますが、これは違うのですか？

あと(0,0,t)と(cost,sint,t)を結ぶ線分と(0,0,t)と(1,1,t)を結ぶ線分のなす角は(π/4)-tかt-(π/4)のどちらかになると思います。(π/2)-tにはならないような気が。

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■24337 / inTopicNo.16)

　Re[5]: 立体Kの体積

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□投稿者/ X ベテラン(208回)-(2007/04/28(Sat) 15:44:48)

2007/04/28(Sat) 15:58:28 編集(投稿者)

ごめんなさい。タイプミスです。
>>(1,1,t)
は
(0,1,t)
の誤りです。

>>ここがどうしても納得できないです。長方形Rθの高さがt(z=t)での断面は線分になると思いますが、これは違うのですか？

問題の長方形が平面z=tと交わった以降の断面の線分の動きを考えてみると、これは
(0,0,t),(cosθ,sinθ,t)
を結ぶ線分を(0,0,t)を中心とした動径と見たときに
θ:t→π/2
と変化する回転となります。
従って、この線分の動きにより
(0,0,t),(cost,sint,t),(0,1,t)
を結んでできる扇形が埋め尽くされることになります。

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■24340 / inTopicNo.17)

　Re[6]: 立体Kの体積

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□投稿者/ detour 一般人(35回)-(2007/04/28(Sat) 23:44:51)

To　X様

なるほど、そういうことでしたか。私は長方形を動かすのを忘れていたんですね。z=tという屋根より高いところには立体の断面が存在するってことですよね。大変よくわかりました。どうもありがとうございました。

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