 | a[n+1] = ra[n]が等比数列型です。
初項a[1], 公比rの等比数列を意味します。等比数列の一般項はa[n] = a[1]r^(n-1)というのは知っていますよね？
証明というわけではありませんが
a[n+1] = ra[n] ⇔ a[n+1]/a[n] = rです。
a[n]/a[n-1] = r (nにn-1を代入)
a[n-1]/a[n-2] = r (nにn-2を代入)
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a[3]/a[2] = r (nに2を代入)
a[2]/a[1] = r (nに1を代入)
上から全部掛け合わせます。すると
(a[n]/a[n-1])(a[n-1]/a[n-2])・・・(a[3]/a[2])(a[2]/a[1]) = r * r * ･･･ * r *r (rがn-1個かかっている) = r^(n-1)
左辺は約分されてa[n]/a[1]になります。
よってa[n] = a[1]r^(n-1)ですね。
さて、a[n+1] + 1 = 3(a[n] + 1)でb[n] = a[n] + 1とおきなおします。(慣れたらおきなおすまでもない)
b[n+1] = a[n+1] + 1ですね。あとは代入すれば
b[n+1] = 3b[n]でほら、等比数列型です。
だから一般項はb[n] = b[1]3^(n-1)。あとはb[n], b[1]を代入すればいい。
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