 | 2007/04/20(Fri) 15:22:55 編集(投稿者)
f(x)=Σ[n=0～∞]a[n]cos(nx)
と展開できるとすると
a[n]∫[-π→π]{(cos(nx))^2}dx=∫[-π→π]{f(x)cos(nx)}dx (A)
(i)n≧1のとき
f(x)が偶関数であることに注意すると(A)より
πa[n]=2∫[0→π]{f(x)cos(nx)}dx (A)'
ここで
∫[0→π]{f(x)cos(nx)}dx=∫[0→π/2]{xcos(nx)}dx+∫[π/2→π]{(π-x)cos(nx)}dx
=[(x/n)sin(nx)][0→π/2]-(1/n)∫[0→π/2]{sin(nx)}dx
+[(1/n)(π-x)sin(nx)][π/2→π]+(1/n)∫[π/2→π]{sin(nx)}dx
={π/(2n)}sin(nπ/2)-(1/n^2){1-cos(nπ/2)}
-{π/(2n)}sin(nπ/2)+(1/n^2){cos(nπ/2)-(-1)^n}
=(2/n^2)cos(nπ/2)-{1+(-1)^n}/n^2
∴(A)'より
a[n]={4/(πn^2)}cos(nπ/2)-{2/(πn^2)}{1+(-1)^n}
∴lを自然数とすると
(I)nが偶数、つまりn=2lのとき
a[n]={4/(π(2l)^2)}cos(lπ)-{2/(π(2l)^2)}{1+(-1)^(2l)}
={4/(π(2l)^2)}(-1)^l-4/(π(2l)^2)
={4/(π(2l)^2)}{(-1)^l-1} (A)'
更にkを自然数として、lについて場合分けすると
(1)lが偶数、つまりl=2kのとき
(A)'は
a[n]=0
(2)lが奇数、つまりl=2k-1のとき
(A)'は
a[n]=-8/{π{2(2k-1)}^2}
=-2/{π(2k-1)^2}
(1)(2)から、nをkを用いて表してまとめると
n=2・2kのとき a[n]=0
n=2(2k-1)のとき a[n]=-2/{π(2k-1)^2}
(II)nが奇数、つまりn=2l-1のとき
a[n]={4/(π(2l-1)^2)}cos(lπ-π/2)-{2/(π(2l-1)^2)}{1+(-1)^(2l-1)}
=0
(II)の場合と(I)のn=2・2kの場合はまとめて
n≠2(2k-1)
の場合ですので、以上より
a[n]=-2/{π(2k-1)^2}(n=2(2k-1)のとき)
a[n]=0 (n≠2(2k-1)のとき)
(ii)n=0のとき
f(x)が偶関数であることに注意すると(A)より
2πa[0]=2∫[0→π]{f(x)}dx
∴a[0]=(1/π)∫[0→π]{f(x)}dx
=(1/π){∫[0→π/2]xdx+∫[π/2→π](π-x)dx}
=π/4
よって
f(x)=π/4+Σ[k=1～∞]{-2/{π(2k-1)^2}}cos{2(2k-1)x}
=π/4-(2/π)Σ[k=1～∞]{1/(2k-1)^2}cos{(4k-2)x}
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